Symétries et projecteurs en matrices ; miroirs et catadioptre

La stratégie. Une équation algébrique sur une matrice fournit une décomposition de l'espace en somme directe ; une base adaptée donne une matrice diagonale ; la formule de changement de base $A^{\prime }=P^{-1}AP$ traduit le tout en « semblable à ».

1) Les matrices de carré $I_n$. Soit $X\in {\mathbb{R}}^n$ ; posons $X_{+}=\frac{1}{2}(X+AX)$ et $X_{-}=\frac{1}{2}(X-AX)$, de somme $X$. Puisque $A^2=I_n$, $$A{X}_{+}=\frac{1}{2}(AX+X)=X_{+},A{X}_{-}=\frac{1}{2}(AX-X)=-X_{-}.$$ Donc ${\mathbb{R}}^n=\mathrm{Ker}(A-I_n)+\mathrm{Ker}(A+I_n)$, et la somme est directe : $AX=X$ et $AX=-X$ donnent $X=-X$, soit $X=0$. Soit $r=\dim \mathrm{Ker}(A-I_n)$. Une base du premier sous-espace suivie d'une base du second est une base ${\mathcal{B}}^{\prime }$ de ${\mathbb{R}}^n$, dans laquelle $u_A$ fixe les $r$ premiers vecteurs et change les $n-r$ suivants en leurs opposés. Si $P$ est la matrice de passage de la base canonique à ${\mathcal{B}}^{\prime }$ : $$P^{-1}AP=\left(\begin{array}{cc}{I}_r& 0\\ 0& -I_{n-r}\end{array}\right).$$ Si $r=n$, $u_A$ fixe tout vecteur et $A=I_n$ ; si $r=0$, $A=-I_n$. Ces cas étant exclus, $0<r<n$.

Le point délicat. L'hypothèse $A\ne \pm I_n$ ne sert qu'à la fin, pour écarter les cas où l'un des sous-espaces est l'espace entier. Le facteur $\frac{1}{2}$, lui, est indispensable : c'est lui qui fabrique la décomposition.

2) Les matrices de carré $A$. $X=AX+(X-AX)$, avec $AX\in \mathrm{Im}A$ et $A(X-AX)=AX-A^{2}X=0$. Si $Y=AZ$ est aussi dans $\mathrm{Ker}A$, alors $0=AY=A^{2}Z=AZ=Y$. Donc ${\mathbb{R}}^n=\mathrm{Im}A\oplus \mathrm{Ker}A$. Sur $\mathrm{Im}A$, $u_A$ est l'identité, car $A(AZ)=A^{2}Z=AZ$ ; sur $\mathrm{Ker}A$, elle est nulle. Dans une base adaptée, sa matrice est $\left(\begin{array}{cc}{I}_r& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$ avec $r=\dim \mathrm{Im}A=\mathrm{rg}A$. La matrice $J$. Le coefficient $(i,j)$ de $J^2$ est ${\sum }_{k=1}^{n}1\times 1=n$ : $J^2=nJ$. Alors $A=\frac{1}{n}J$ vérifie $A^2=\frac{1}{n^2}{J}^2=A$, et elle est de rang $1$, toutes ses colonnes étant égales au vecteur non nul $\frac{1}{n}(1,\dots ,1{)}^{\top }$. Il existe donc $P$ inversible avec $P^{-1}AP=\mathrm{diag}(1,0,\dots ,0)$, et, en multipliant par $n$, $P^{-1}JP=\mathrm{diag}(n,0,\dots ,0)$. Les $P{P}^{-1}$ intérieurs se simplifiant, $P^{-1}{J}^{k}P=\mathrm{diag}(n^k,0,\dots ,0)=n^{k-1}\mathrm{diag}(n,0,\dots ,0)$, d'où $J^k=n^{k-1}J$ pour $k\ge 1$. (Concrètement : $(1,\dots ,1{)}^{\top }$, complété par une base du sous-espace d'équation $x_1+\cdots +x_n=0$, qui est le noyau de $J$ et de dimension $n-1$.)

3) Les miroirs du plan. $s_{\phi }$ fixe $u_{\phi }$ et change $u_{\phi +\pi /2}$ en son opposé : sa matrice dans $(u_{\phi },u_{\phi +\pi /2})$ est $\mathrm{diag}(1,-1)$. (Les vecteurs $u_{\phi }$ et $u_{\phi +\pi /2}$ sont ceux que le chapitre de géométrie note ${\overrightarrow{u}}_r$ et ${\overrightarrow{u}}_{\theta }$ pour l'angle $\theta =\phi$ : la base polaire.) Les nouveaux vecteurs ont pour coordonnées $(\cos \phi ,\sin \phi )$ et $(-\sin \phi ,\cos \phi )$ : la matrice de passage est la matrice de rotation $R(\phi )$, d'inverse $R(-\phi )$. La formule de changement de base, lue dans l'autre sens, donne $S(\phi )=R(\phi )\mathrm{diag}(1,-1)R(-\phi )$. Multiplier $R(\phi )$ à droite par $\mathrm{diag}(1,-1)$ change le signe de sa seconde colonne ; puis $$S(\phi )=\left(\begin{array}{cc}\cos \phi & \sin \phi \\ \sin \phi & -\cos \phi \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}\cos \phi & \sin \phi \\ -\sin \phi & \cos \phi \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{\cos }^2\phi -{\sin }^2\phi & 2\sin \phi \cos \phi \\ 2\sin \phi \cos \phi & {\sin }^2\phi -{\cos }^2\phi \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\cos 2\phi & \sin 2\phi \\ \sin 2\phi & -\cos 2\phi \end{array}\right).$$ Contrôle : $\phi =\frac{\pi }{4}$ donne $\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$, l'échange des coordonnées, symétrie par rapport à la première bissectrice. Deux miroirs. Le produit, coefficient par coefficient, avec les formules d'addition : $$S(\phi )S(\psi )=\left(\begin{array}{cc}\cos 2\phi \cos 2\psi +\sin 2\phi \sin 2\psi & \cos 2\phi \sin 2\psi -\sin 2\phi \cos 2\psi \\ \sin 2\phi \cos 2\psi -\cos 2\phi \sin 2\psi & \sin 2\phi \sin 2\psi +\cos 2\phi \cos 2\psi \end{array}\right)=R(2(\phi -\psi )).$$ Deux symétries par rapport à des droites font une rotation d'angle double de l'angle entre les droites. Un miroir conserve la composante de la direction parallèle au miroir et renverse la composante normale : il agit sur la direction du rayon par la symétrie correspondante. Réfléchi d'abord par le miroir de direction $u_{\psi }$, puis par celui de direction $u_{\phi }$, un rayon voit donc sa direction tournée de $2(\phi -\psi )$, quelle que soit sa direction d'arrivée. Deux miroirs parallèles laissent la direction inchangée — c'est le périscope ; deux miroirs perpendiculaires la font tourner de $\pi$ : le rayon repart en sens inverse.

4) Le catadioptre. Les trois miroirs agissent par $S_x=\mathrm{diag}(-1,1,1)$, $S_y=\mathrm{diag}(1,-1,1)$ et $S_z=\mathrm{diag}(1,1,-1)$. Ces matrices diagonales commutent, et leur produit, dans n'importe quel ordre, vaut $\mathrm{diag}(-1,-1,-1)=-I_3$. La direction est exactement renversée, quelle qu'ait été la direction d'arrivée : c'est le principe du catadioptre de vélo, et des réflecteurs déposés sur la Lune.

Ce que l'exercice installe. L'enchaînement de la réduction : une équation sur $A$ donne une somme directe, qui donne une base adaptée, qui donne une matrice diagonale semblable à $A$ — et avec elle les puissances. En optique géométrique, composer des réflexions, c'est multiplier des matrices de symétries. Et la formule $S(\phi )=R(\phi )\mathrm{diag}(1,-1)R(-\phi )$ est le geste des figures de changement de base de la cinématique des solides, en sciences industrielles : la matrice de rotation $R(\phi )$ fait passer des coordonnées dans la base liée à un solide tourné de l'angle $\phi$ aux coordonnées dans la base du bâti, et une grandeur simple dans la base du solide s'exprime dans celle du bâti par $R(\phi )(\cdot )R(-\phi )$.