mathématiques (PTSI) · Chapitre 12 · Exercice de TD

Symétries et projecteurs en matrices ; miroirs et catadioptre

Matrices · D. Changements de bases et matrices semblables · niveau 3 (difficile)

Énoncé

1) Soit $A \in M_{n} (R)$ telle que $A^{2} = I_{n}$ et $A \neq = \pm I_{n}$ . Montrer que $R^{n} = Ker (A - I_{n}) \oplus Ker (A + I_{n})$ (écrire $X = \frac{1}{2} (X + A X) + \frac{1}{2} (X - A X)$ ), puis que $A$ est semblable à $(I_{r} 0 0 - I_{n - r})$ pour un entier $r$ tel que $0 < r < n$ .

2) Soit $A \in M_{n} (R)$ telle que $A^{2} = A$ . Montrer de même que $A$ est semblable à $(I_{r} 0 00)$ avec $r = rg A$ . Application : $J$ désignant la matrice de $M_{n} (R)$ dont tous les coefficients valent $1$ , vérifier $J^{2} = n J$ , en déduire que $J$ est semblable à $diag (n, 0, \dots, 0)$ , puis calculer $J^{k}$ pour $k \geq 1$ .

3) Miroirs du plan. Pour $φ \in R$ , on note $u_{φ} = (cos φ, sin φ)$ et $s_{φ}$ la symétrie par rapport à la droite $R u_{φ}$ parallèlement à la droite $R u_{φ + π /2}$ . Écrire la matrice de $s_{φ}$ dans la base $(u_{φ}, u_{φ + π /2})$ , puis, à l'aide de la matrice de passage $R (φ)$ , montrer que sa matrice dans la base canonique est $S (φ) = (cos 2 φ sin 2 φ sin 2 φ - cos 2 φ)$ . Calculer $S (φ) S (ψ)$ : qu'arrive-t-il à la direction d'un rayon lumineux réfléchi successivement par deux miroirs plans faisant entre eux l'angle $φ - ψ$ ?

4) Catadioptre. Trois miroirs plans deux à deux perpendiculaires sont disposés selon les plans de coordonnées de $R^{3}$ . D'après la loi de la réflexion, le miroir d'équation $x = 0$ change la direction $(α, β, γ)$ d'un rayon en $(- α, β, γ)$ . Écrire les trois matrices, et montrer qu'après une réflexion sur chacun des trois miroirs, dans n'importe quel ordre, le rayon repart dans la direction exactement opposée.

Corrigé de la question 1

La stratégie. Une équation algébrique sur une matrice fournit une décomposition de l'espace en somme directe ; une base adaptée donne une matrice diagonale ; la formule de changement de base $A^{'} = P^{- 1} A P$ traduit le tout en « semblable à ».

1) Les matrices de carré $I_{n}$ . Soit $X \in R^{n}$ ; posons $X_{+} = \frac{1}{2} (X + A X)$ et $X_{-} = \frac{1}{2} (X - A X)$ , de somme $X$ . Puisque $A^{2} = I_{n}$ , $A X_{+} = \frac{1}{2} (A X + X) = X_{+}, A X_{-} = \frac{1}{2} (A X - X) = - X_{-} .$ Donc $R^{n} = Ker (A - I_{n}) + Ker (A + I_{n})$ , et la somme est directe : $A X = X$ et $A X = - X$ donnent $X = - X$ , soit $X = 0$ . Soit $r = dim Ker (A - I_{n})$ . Une base du premier sous-espace suivie d'une base du second est une base $B^{'}$ de $R^{n}$ , dans laquelle $u_{A}$ fixe les $r$ premiers vecteurs et change les $n - r$ suivants en leurs opposés. Si $P$ est la matrice de passage de la base canonique à $B^{'}$ : $P^{- 1} A P = (I_{r} 0 0 - I_{n - r}) .$ Si $r = n$ , $u_{A}$ fixe tout vecteur et $A = I_{n}$ ; si $r = 0$ , $A = - I_{n}$ . Ces cas étant exclus, $0 < r < n$ .

Le point délicat. L'hypothèse $A \neq = \pm I_{n}$ ne sert qu'à la fin, pour écarter les cas où l'un des sous-espaces est l'espace entier. Le facteur $\frac{1}{2}$ , lui, est indispensable : c'est lui qui fabrique la décomposition.

Question 2 : comment l'IA t'aide

Élève

Pour le 2), je veux imiter le 1) en décomposant $X$ en deux morceaux. Au 1), on prenait $\frac{1}{2} (X \pm A X)$ ; ici, avec $A^{2} = A$ , je ne vois ni quels morceaux choisir, ni quels sous-espaces viser.

Au 1), les deux sous-espaces étaient ceux où $A$ agit comme $I_{n}$ et comme $- I_{n}$ . Pour une matrice telle que $A^{2} = A$ , sur quels vecteurs agit-elle comme l'identité, et sur lesquels comme $0$ ?

Élève

Elle fixe les vecteurs de la forme $A Z$ , puisque $A (A Z) = A^{2} Z = A Z$ : c'est l'identité sur $Im A$ , et $0$ sur $Ker A$ . Je pourrais écrire $X = A X + (X - A X)$ .

C'est la bonne décomposition. Comment montres-tu que la somme est directe ? Et pour l'application, quel multiple de $J$ vérifie la même relation que $A$ , et quel est son rang ?

L'IA ne donne pas la réponse : elle pose la question qui fait avancer. À toi de continuer.

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Reprends la question 2 là où le dialogue s'arrête, puis la suite de l'exercice.

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