Un produit qui ne peut pas être inversible

Exercice classique · niveau 3 (difficile) · mathématiques (PTSI), chapitre 12 — Matrices · B. Noyau, image, rang

Énoncé

Soient $n > p$ , $A \in M_{n, p} (K)$ et $B \in M_{p, n} (K)$ . Montrer que la matrice carrée $A B \in M_{n} (K)$ n'est jamais inversible.

Corrigé

Passons aux applications canoniquement associées : $u_{A B} = u_{A} \circ u_{B}$ avec $u_{B} : K^{n} \to K^{p}$ et $u_{A} : K^{p} \to K^{n}$ . L'image de $u_{A B}$ est contenue dans celle de $u_{A}$ , donc

$rg (A B) \leq rg (A) \leq dim K^{p} = p < n :$

le rang de $A B$ ne peut pas valoir $n$ , et la caractérisation de l'inversibilité conclut : $A B \in / GL_{n} (K)$ . (Moralité : tout transite par l'espace intermédiaire $K^{p}$ , trop petit — une information comprimée en dimension $p < n$ ne peut pas être restituée sans perte.)

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.