Un rang qui dépend d'un paramètre

Stratégie : échelonner d'abord, discuter ensuite. Les opérations élémentaires sur les lignes conservent le rang ; on les mène tant qu'elles ne demandent aucune hypothèse sur $a$, et l'on ne discute qu'au moment où un pivot risque de s'annuler.

L'échelonnement. Retranchons la première ligne aux deux autres :

$$A\underset{L_3\leftarrow L_3-L_1}{\overset{L_2\leftarrow L_2-L_1}{\to }}\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 0& a-1& 0\\ 0& 0& a-1\end{array}\right).$$

⚠️ Le point délicat : ces deux opérations sont licites sans aucune discussion. Ajouter à une ligne un multiple d'une autre ne demande jamais rien. La faute classique serait de vouloir « diviser $L_2$ par $a-1$ » pour normaliser le pivot : cette division-là, elle, exigerait $a\ne 1$, et c'est ainsi qu'on perd un cas en chemin. On échelonne sans diviser, et l'on discute à la fin.

La discussion. La matrice obtenue est triangulaire supérieure, de coefficients diagonaux $1$, $a-1$, $a-1$.

• Si $a\ne 1$ : les trois pivots sont non nuls, donc $\mathrm{rg}A=3$. La matrice est carrée de rang maximal : elle est inversible, et le théorème du rang donne $\dim \mathrm{Ker}A=3-3=0$.
• Si $a=1$ : la matrice échelonnée devient $\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$, avec un seul pivot, donc $\mathrm{rg}A=1$. Et de fait, pour $a=1$, les trois lignes de $A$ sont identiques, toutes égales à $(1,1,1)$. Le théorème du rang donne $\dim \mathrm{Ker}A=3-1=2$ : le noyau est le plan d'équation $x+y+z=0$.

$$\boxed{\mathrm{rg}A=3\text{ si }a\ne 1,\mathrm{rg}A=1\text{ si }a=1.}$$

Ce qui est remarquable ici. Le rang ne descend pas de $3$ à $2$, mais de $3$ à $1$ d'un seul coup : les deux pivots qui s'évanouissent valent tous deux $a-1$, donc ils disparaissent ensemble. Une valeur de paramètre peut faire chuter le rang de plusieurs unités à la fois — il ne faut jamais supposer qu'il ne perd qu'une marche.

Contrôle numérique. Le rang calculé pour $a=-5$, $a=-1$, $a=0$, $a=\frac{1}{2}$, $a=2$, $a=3$ et $a=7$ vaut $3$ à chaque fois ; pour $a=1$ il vaut $1$, et la dimension du noyau vaut alors $2$. ✔

Ce que l'exercice installe. Une discussion de rang se mène sur la forme échelonnée, et le paramètre ne s'invite qu'au moment où un pivot peut s'annuler. La règle d'or : ne jamais diviser par une expression contenant le paramètre sans avoir écarté son annulation.