Une application linéaire donnée par les images d'une base

Ce qu'on a le droit d'utiliser. Le théorème du chapitre sur les applications linéaires : si $(e_1,\dots ,e_n)$ est une base de $E$ et $(w_1,\dots ,w_n)$ une famille quelconque, il existe une unique application linéaire $u$ telle que $u(e_i)=w_i$ pour tout $i$, et $u$ est bijective si et seulement si $(w_i)$ est une base. Les théorèmes de la base incomplète et de la base extraite.

1) L'exemple. Les vecteurs $f_1=(1,1)$ et $f_2=(0,1)$ sont libres — une relation $\alpha f_1+\beta f_2=0$ donne $\alpha =0$ sur la première coordonnée, puis $\beta =0$ — donc forment une base de ${\mathbb{R}}^2$ ; le théorème s'applique avec des images arbitraires : $u$ existe et est unique. Le point délicat : on ne peut pas lire les colonnes sur les données. Les colonnes de $A$ sont les images de $e_1=(1,0)$ et $e_2=(0,1)$, alors que l'énoncé donne celles de $f_1$ et $f_2$. Il faut d'abord écrire la base canonique dans la base donnée : $e_2=f_2$ et $e_1=f_1-f_2$. Par linéarité, $$u(e_1)=(2,0)-(1,1)=(1,-1),u(e_2)=(1,1),A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ -1& 1\end{array}\right).$$ Contrôle : $A$ envoie bien $(1,1)$ sur $(2,0)$ et $(0,1)$ sur $(1,1)$.

2) La formule $A=W{F}^{-1}$. Les colonnes de $F$ forment une base, donc engendrent ${\mathbb{K}}^n$ : une matrice carrée dont les colonnes engendrent ${\mathbb{K}}^n$ est inversible (cours). Notons $A$ la matrice de $u$ dans la base canonique. La colonne des coordonnées de $u(f_j)$ est $A{f}_j$, qui est la $j$-ième colonne du produit $AF$. Les $n$ égalités $u(f_j)=w_j$ s'écrivent donc, colonne par colonne, $$AF=W,\text{d’ouˋ}A=W{F}^{-1}.$$ Sur l'exemple, $F=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 1\end{array}\right)$, $F^{-1}=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ -1& 1\end{array}\right)$ et $W=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$ : $$W{F}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ -1& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ -1& 1\end{array}\right)=A.$$ Le calcul à la main du 1) était celui de $F^{-1}$ : ses colonnes sont les coordonnées de $e_1$ et $e_2$ dans $(f_1,f_2)$, et l'on y lit $e_1=f_1-f_2$, $e_2=f_2$.

3) La réciproque. D'après le théorème rappelé, $u$ est bijective si et seulement si $(w_1,\dots ,w_n)$ est une base. Dans ce cas $W$ est inversible, et $u^{-1}$ est l'unique endomorphisme qui envoie chaque $w_j$ sur $f_j$ : les rôles des deux familles sont échangés, et la formule du 2) donne $$\mathrm{Mat}(u^{-1})=F{W}^{-1},$$ qui est bien l'inverse de $W{F}^{-1}$. Sur l'exemple, $w_1=(2,0)$ et $w_2=(1,1)$ ne sont pas colinéaires ; la formule d'inversion des matrices $2\times 2$ ($ad-bc=2$) donne $W^{-1}=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 0& 2\end{array}\right)$, puis $$F{W}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 1\end{array}\right)\cdot \frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 0& 2\end{array}\right)=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& 1\end{array}\right),$$ qui est l'inverse de $A$ donné par la même formule ; et cette matrice renvoie bien $(2,0)$ sur $(1,1)$.

4) Pourquoi une base. a) Libre, non génératrice. $e_1$ et $e_2$ sont libres mais n'engendrent pas ${\mathbb{R}}^3$. Complétons-les par $e_3$ : pour tout vecteur $(\alpha ,\beta ,\gamma )$, il existe un unique endomorphisme qui envoie $e_1,e_2,e_3$ sur $(1,1,0),(0,1,1),(\alpha ,\beta ,\gamma )$, et toute solution est de ce type avec $(\alpha ,\beta ,\gamma )=u(e_3)$. Les solutions sont les endomorphismes de matrices $\left(\begin{array}{ccc}1& 0& \alpha \\ 1& 1& \beta \\ 0& 1& \gamma \end{array}\right)$ : il y en a toujours, et une infinité. La liberté a donné l'existence, le défaut de génération a coûté l'unicité. b) Génératrice, liée. $(1,0)$, $(0,1)$, $(1,1)$ engendrent ${\mathbb{R}}^2$ mais $(1,1)=(1,0)+(0,1)$. Si $u$ convient, la linéarité impose $c=a+b$. Réciproquement, si $c=a+b$, l'endomorphisme défini sur la base canonique par $u(1,0)=a$ et $u(0,1)=b$ vérifie $u(1,1)=c$. Une solution existe donc si et seulement si $c=a+b$, et elle est unique, deux solutions coïncidant sur une base. La génération a donné l'unicité, la dépendance a imposé une condition de compatibilité. c) Le cas général.

• Existence pour tout choix, si et seulement si libre. Si la famille est libre, on la complète en une base $(f_1,\dots ,f_p,g_{p+1},\dots ,g_n)$ et l'on prescrit $u(f_j)=w_j$, $u(g_k)=0$ : le théorème fournit $u$. Si la famille est liée, il existe une relation ${\sum }_j{\lambda }_j{f}_j=0$ avec un ${\lambda }_k\ne 0$ ; choisissons $w_k\ne 0$ et $w_j=0$ pour $j\ne k$. Une solution donnerait $0=u\left({\sum }_j{\lambda }_j{f}_j\right)={\lambda }_k{w}_k\ne 0$ : contradiction.
• Au plus une solution pour tout choix, si et seulement si génératrice. Si la famille engendre ${\mathbb{K}}^n$, tout $x$ s'écrit ${\sum }_j{\mu }_j{f}_j$ et une solution vérifie nécessairement $u(x)={\sum }_j{\mu }_j{w}_j$ : elle est unique. Sinon, $V=\mathrm{Vect}(f_1,\dots ,f_p)\ne {\mathbb{K}}^n$ ; extrayons une base de $V$ et complétons-la par au moins un vecteur $g$. L'endomorphisme $v$ nul sur la base de $V$ et égal à l'identité sur les vecteurs ajoutés est non nul et s'annule sur chaque $f_j$ : pour $w_j=0$, l'endomorphisme nul et $v$ sont deux solutions distinctes.

Le problème est donc bien posé — exactement une solution pour tout choix des images — si et seulement si $(f_1,\dots ,f_p)$ est une base.

Ce que l'exercice installe. « Une application linéaire est déterminée par l'image d'une base » contient deux théorèmes : la liberté de la famille de départ donne l'existence, son caractère générateur l'unicité. La formule $A=W{F}^{-1}$, où $F$ est la matrice de passage de la base canonique à la base $(f_j)$, annonce les changements de bases. C'est aussi la règle de l'identification d'un système linéaire en physique : deux expériences à entrées indépendantes suffisent à connaître un système linéaire à deux entrées et deux sorties.