Encadrer une fonction monotone par deux fonctions en escalier

La stratégie. Coincer $f$ entre deux fonctions en escalier dont on sait calculer l'écart. On n'utilise, pour la fonction continue $f$, que la croissance de l'intégrale et la relation de Chasles ; les fonctions en escalier ne servent qu'à dessiner les rectangles, dont on additionne les aires comme des nombres. Le théorème des sommes de Riemann n'est pas utilisé : on le redémontre, pour les fonctions monotones, avec une vitesse explicite.

a) Les deux sommes. Notons $\delta =\frac{b-a}{n}$ le pas. La somme $s_n$ est la somme de Riemann du cours, celle des rectangles « à gauche », de hauteur $f(x_k)$ sur $]x_k,x_{k+1}[$ ; la somme $S_n$ est la somme « à droite », de hauteur $f(x_{k+1})$.

L'encadrement, segment par segment. Pour $t\in [x_k,x_{k+1}]$, la croissance de $f$ donne $f(x_k)\le f(t)\le f(x_{k+1})$, c'est-à-dire ${\phi }_n(t)\le f(t)\le {\psi }_n(t)$ sur l'intervalle ouvert. Ce sont trois fonctions continues de $t$ sur le segment $[x_k,x_{k+1}]$, dont deux constantes, et la croissance de l'intégrale donne $$\delta f(x_k)\le {\int }_{x_k}^{x_{k+1}}f(t)\mathrm{d}t\le \delta f(x_{k+1}).$$ En sommant ces $n$ encadrements, et en recollant les intégrales par la relation de Chasles : $s_n\le {\int }_a^{b}f\le S_n$.

Le point délicat. On ne compare jamais une fonction en escalier à la fonction continue $f$ en intégrant leur différence : le programme de PTSI définit l'intégrale d'une fonction continue, et c'est la seule qu'on écrit ici. Sur chaque segment, on compare $f$ à des constantes, qui sont continues, et l'on ne somme ensuite que des nombres, les aires des rectangles.

L'écart. Par télescopage, puisque $x_0=a$ et $x_n=b$ : $$S_n-s_n=\frac{b-a}{n}\sum _{k=0}^{n-1}(f(x_{k+1})-f(x_k))=\frac{(b-a)(f(b)-f(a))}{n}.$$ Sur chaque segment, l'écart est un petit rectangle de largeur $\delta$ et de hauteur $f(x_{k+1})-f(x_k)$ ; glissés les uns sous les autres, ces rectangles s'empilent en une seule colonne de largeur $\delta$ et de hauteur $f(b)-f(a)$.

Conclusion. Le nombre ${\int }_a^{b}f$ et la somme de Riemann $s_n$ sont tous deux dans le segment $[s_n,S_n]$, de longueur $\frac{(b-a)(f(b)-f(a))}{n}$, donc $0\le {\int }_a^{b}f-s_n\le \frac{(b-a)(f(b)-f(a))}{n}$. Si $f$ est décroissante, on applique ce qui précède à $-f$, qui est croissante. Pour $f$ monotone, $\left|{\int }_a^{b}f-s_n\right|\le \frac{(b-a)|f(b)-f(a)|}{n}$ : c'est le théorème des sommes de Riemann, avec une erreur en $\frac{1}{n}$ explicite.

b) La racine carrée. Elle n'est pas de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $[0,1]$ : elle n'est même pas dérivable en $0$, puisque son taux d'accroissement $\frac{\sqrt{t}-\sqrt{0}}{t-0}=\frac{1}{\sqrt{t}}$ tend vers $+\infty$ quand $t\to 0^{+}$ ; et sur $]0,1]$, sa dérivée $\frac{1}{2\sqrt{t}}$ n'est majorée par aucune constante. Or la démonstration du cours prend pour $K$ un majorant de $|f^{\prime }|$ sur tout le segment, puis majore l'écart sur chaque morceau par $K$ fois une longueur, par l'inégalité des accroissements finis : ce majorant n'existe pas ici, et elle ne s'applique pas. Celle-ci s'applique : la racine carrée est continue et croissante, et c'est tout ce qu'utilise le a). La pente infinie en $0$ ne coûte rien, parce que les rectangles d'erreur s'empilent dans une colonne de hauteur $1$, quelle que soit la raideur de la courbe : la monotonie remplace la dérivée bornée.

L'équivalent. Sur $[0,1]$, la somme à droite vaut $S_n=\frac{1}{n}{\sum }_{k=1}^n\sqrt{\frac{k}{n}}=\frac{1}{n^{3/2}}{\sum }_{k=1}^n\sqrt{k}$. Le a) la place entre ${\int }_0^1\sqrt{t}\mathrm{d}t$ et ${\int }_0^1\sqrt{t}\mathrm{d}t+\frac{1}{n}$, avec ${\int }_0^1\sqrt{t}\mathrm{d}t={\left[\frac{2}{3}{t}^{3/2}\right]}_0^1=\frac{2}{3}$ : $$\frac{2}{3}\le \frac{1}{n^{3/2}}\sum _{k=1}^n\sqrt{k}\le \frac{2}{3}+\frac{1}{n},\text{donc}\sum _{k=1}^n\sqrt{k}\sim \frac{2}{3}{n}^{3/2}.$$ Contrôle pour $n=100$ : le quotient vaut $0,67146$, bien dans $[0,66667;0,67667]$.

c) L'inverse de la racine. Pour $k\ge 1$, $t\mapsto \frac{1}{\sqrt{t}}$ est continue et décroissante sur $[k,k+1]$, donc, par croissance de l'intégrale sur un segment de longueur $1$ : $$\frac{1}{\sqrt{k+1}}\le {\int }_k^{k+1}\frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{t}}=2\sqrt{k+1}-2\sqrt{k}\le \frac{1}{\sqrt{k}}.$$ Minoration : on somme l'inégalité de droite pour $k$ de $1$ à $n$, et Chasles donne ${\sum }_{k=1}^n\frac{1}{\sqrt{k}}\ge {\int }_1^{n+1}\frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{t}}=2\sqrt{n+1}-2$. Majoration : on somme l'inégalité de gauche pour $k$ de $1$ à $n-1$, ce qui donne ${\sum }_{k=2}^n\frac{1}{\sqrt{k}}\le {\int }_1^n\frac{\mathrm{d}t}{\sqrt{t}}=2\sqrt{n}-2$, et l'on ajoute le premier terme, qui vaut $1$ : ${\sum }_{k=1}^n\frac{1}{\sqrt{k}}\le 2\sqrt{n}-1$.

Le point délicat. Il faut deux découpages différents, et le premier terme mis à part : on ne peut pas majorer d'un coup par une intégrale sur $[0,n]$, car $\frac{1}{\sqrt{t}}$ n'est pas définie en $0$ — ce ne serait plus l'intégrale d'une fonction continue sur un segment, la seule que le chapitre définisse.

L'équivalent. Divisées par $2\sqrt{n}$, les deux bornes tendent vers $1$ : $\sum _{k=1}^n\frac{1}{\sqrt{k}}\sim 2\sqrt{n}$. Contrôle pour $n=100$ : la somme vaut $18,590$, entre $2\sqrt{101}-2\approx 18,100$ et $19$.

Ce que l'exercice installe. Coincer une fonction monotone entre deux fonctions en escalier, c'est la construction de l'intégrale en miniature — l'idée que le programme demande de connaître sans en exiger la construction. L'encadrement du c) est déjà la comparaison série-intégrale du chapitre 17, qui y donnera la nature des séries de Riemann. En physique comme en sciences industrielles, c'est l'intégrale lue comme une somme de contributions : découper, sommer des rectangles, contrôler l'erreur — la méthode des rectangles des capacités numériques.