Intégrale nulle d'une fonction positive

Application directe du cours · niveau 2 · mathématiques (PTSI), chapitre 14 — Intégration · B. Propriétés de l'intégrale

Énoncé

Soit $f$ continue sur $[a, b]$ , à valeurs réelles, telle que $\int_{a}^{b} f^{2} = 0$ . Montrer que $f = 0$ . Le résultat subsiste-t-il pour une fonction en escalier ?

Corrigé

$f^{2}$ est continue et positive, d'intégrale nulle : par le théorème du cours, $f^{2} = 0$ , donc $f = 0$ .

Pour une fonction en escalier, c'est faux : la fonction nulle partout sauf en un point (où elle vaut $1$ ) est en escalier, de carré d'intégrale nulle, sans être nulle. (Cette propriété — $\int f^{2} = 0 \Rightarrow f = 0$ sur les fonctions continues — est exactement ce qui fera de $(f, g) \mapsto \int f g$ un produit scalaire sur les fonctions continues, en seconde année.)

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