L'inégalité de Cauchy-Schwarz intégrale, et la valeur efficace

La stratégie : le trinôme du second degré qui ne change pas de signe. On introduit un paramètre réel $\lambda$ qui n'a rien à faire dans l'énoncé, on fabrique une quantité positive pour toute valeur de ce paramètre, et l'on lit la conclusion sur le discriminant. C'est la mécanique des trinômes du second degré, transportée aux intégrales ; les outils sont la linéarité, la positivité de l'intégrale et le théorème « continue, positive, d'intégrale nulle, donc nulle ».

1) La quantité positive. Pour $\lambda \in \mathbb{R}$, posons $$P(\lambda )={\int }_a^b(f(t)+\lambda g(t){)}^2\mathrm{d}t.$$ L'intégrande est un carré, continu et positif ; par positivité de l'intégrale, $P(\lambda )\ge 0$ pour tout réel $\lambda$. En développant le carré, puis par linéarité : $$P(\lambda )={\lambda }^2{\int }_a^b{g}^2+2\lambda {\int }_a^{b}fg+{\int }_a^b{f}^2.$$

Premier cas : ${\int }_a^b{g}^2=0$. La fonction $g^2$ est continue, positive, d'intégrale nulle : elle est nulle, donc $g=0$. Alors ${\int }_a^{b}fg=0$, et l'inégalité annoncée se réduit à $0\le 0$ : elle est vraie.

Second cas : ${\int }_a^b{g}^2>0$. Alors $P$ est un vrai trinôme du second degré, de coefficient dominant strictement positif, qui ne prend jamais de valeur strictement négative. Il n'a donc pas deux racines réelles distinctes — sinon il serait strictement négatif entre elles —, et son discriminant est négatif ou nul : $$\Delta =4{\left({\int }_a^{b}fg\right)}^2-4{\int }_a^b{g}^2\cdot {\int }_a^b{f}^2\le 0,$$ ce qui est exactement l'inégalité cherchée.

Le point délicat : la séparation des deux cas. Si ${\int }_a^b{g}^2$ est nul, $P$ n'est plus du second degré mais affine, et parler de son discriminant n'a aucun sens. Une démonstration qui saute ce cas applique un théorème hors de son domaine — c'est l'erreur classique sur cet exercice, invisible tant qu'on ne se demande pas si le coefficient dominant peut s'annuler.

2) Le cas d'égalité. Comme $g$ n'est pas la fonction nulle, $g^2$ est continue, positive et non nulle : son intégrale n'est pas nulle, par contraposée du théorème du cours. On est donc dans le second cas. Supposons l'égalité. Alors $\Delta =0$, et le trinôme $P$ admet une racine double ${\lambda }_1$ : ${\int }_a^b(f+{\lambda }_{1}g{)}^2=0$, avec un intégrande continu et positif. Le théorème du cours donne $(f+{\lambda }_{1}g{)}^2=0$, c'est-à-dire $f={\lambda }_{0}g$ avec ${\lambda }_0=-{\lambda }_1$ : les deux fonctions sont proportionnelles. Réciproquement, si $f={\lambda }_{0}g$, les deux membres valent ${\lambda }_0^2{\left({\int }_a^b{g}^2\right)}^2$ : l'égalité a lieu.

Pourquoi l'hypothèse sur $g$. Si $g=0$, l'égalité $0=0$ a lieu pour toute $f$, qui n'a aucune raison d'être proportionnelle à la fonction nulle : l'équivalence serait fausse.

3) Valeur moyenne et valeur efficace. On applique le 1) sur $[0,T]$ à $f$ et à la fonction constante $g=1$ : $${\left({\int }_0^{T}f\right)}^2\le {\int }_0^T{f}^2\cdot {\int }_0^{T}1=T{\int }_0^T{f}^2.$$ En divisant par $T^2>0$ : $⟨f{⟩}^2\le \frac{1}{T}{\int }_0^T{f}^2=f_{\text{eff}}^2$, et, la racine carrée étant croissante sur $[0,+\infty [$, $|⟨f⟩|\le f_{\text{eff}}$. La fonction $g=1$ n'est pas nulle : par le 2), l'égalité a lieu si et seulement si $f={\lambda }_0\cdot 1$, c'est-à-dire si et seulement si $f$ est constante.

Le contrôle. Sur $[0,\pi ]$, $|\sin t|=\sin t$, et $⟨f⟩=\frac{1}{\pi }{\int }_0^{\pi }\sin t\mathrm{d}t=\frac{1}{\pi }[-\cos t{]}_0^{\pi }=\frac{2}{\pi }\approx 0,637$. Pour la valeur efficace, ${\sin }^{2}t=\frac{1-\cos (2t)}{2}$ donne ${\int }_0^{\pi }{\sin }^{2}t\mathrm{d}t=\frac{\pi }{2}$, d'où $f_{\text{eff}}=\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\approx 0,707$. On a bien $0,637<0,707$, avec une inégalité stricte : la tension redressée n'est pas constante.

4) Une fonction et son inverse. $f$ étant continue et strictement positive, $\sqrt{f}$ et $\frac{1}{\sqrt{f}}$ sont continues sur $[a,b]$. Le 1), appliqué à ces deux fonctions, donne $${\left({\int }_a^b\sqrt{f}\cdot \frac{1}{\sqrt{f}}\right)}^2=(b-a{)}^2\le {\int }_a^{b}f\cdot {\int }_a^b\frac{1}{f}.$$ L'égalité. $\frac{1}{\sqrt{f}}$ ne s'annule jamais, elle n'est pas la fonction nulle : par le 2), l'égalité a lieu si et seulement si $\sqrt{f}=\frac{{\lambda }_0}{\sqrt{f}}$, soit $f={\lambda }_0$ : si et seulement si $f$ est constante. Le point délicat est le choix des deux fonctions : c'est en coupant $f$ en deux racines carrées que le produit $fg$ devient la constante $1$.

Le contrôle. Avec $f(t)=e^t$ sur $[0,1]$ : ${\int }_0^1{e}^t\mathrm{d}t=e-1$ et ${\int }_0^1{e}^{-t}\mathrm{d}t=1-e^{-1}$, de produit $e+e^{-1}-2\approx 1,086$, au-dessus de $(1-0{)}^2=1$. En valeurs moyennes, l'inégalité s'écrit $⟨f⟩⟨1/f⟩\ge 1$.

Ce que l'exercice installe. Un trinôme de signe constant a un discriminant négatif : c'est le geste, plus que l'énoncé — fabriquer une quantité positive dépendant d'un paramètre réel, puis lire le discriminant, sans oublier le cas où le coefficient dominant s'annule. En électricité et en sciences industrielles, la valeur efficace d'une tension ou d'un courant périodique est celle que mesure un voltmètre en position alternative, et celle qui fixe la puissance dissipée dans une résistance ; elle majore toujours la valeur absolue de la valeur moyenne, et ne lui est égale que pour un signal continu. Le chapitre 16 refera le même trinôme en probabilités, avec $\lambda \mapsto V(X+\lambda Y)$, pour majorer une covariance.