mathématiques (PTSI) · Chapitre 14 · Exercice de TD

La corde et l'arc : quand la majoration du module est une égalité

Intégration · A. Fonctions en escalier et intégrales complexes · niveau 2

Énoncé

a) Calculer $\int_{0}^{π} e^{i t} d t$ et comparer $\int_{0}^{π} e^{i t} d t$ à $\int_{0}^{π} ∣ e^{i t} ∣ d t$ .

b) Soit $f : [a, b] \to C$ continue telle que $\int_{a}^{b} f = \int_{a}^{b} ∣ f ∣ \neq = 0$ . On écrit $\int_{a}^{b} f = \int_{a}^{b} f e^{i θ}$ . Montrer que $\int_{a}^{b} (∣ f (t)∣ - Re (e^{- i θ} f (t))) d t = 0$ , puis que $f = e^{i θ} ∣ f ∣$ : $f$ garde un argument constant là où elle ne s'annule pas. Réciproque ?

c) En déduire que, pour $f$ continue à valeurs réelles, $\int_{a}^{b} f = \int_{a}^{b} ∣ f ∣$ si et seulement si $f$ garde un signe constant sur $[a, b]$ .

d) (Vibrations) On superpose $N$ vibrations sinusoïdales de même pulsation et de même amplitude $A > 0$ , de phases $φ_{1}, \dots, φ_{N}$ ; l'amplitude complexe de leur somme est $\sum_{k = 1}^{N} A e^{i φ_{k}}$ . Montrer que $\sum_{k = 1}^{N} A e^{i φ_{k}} \leq N A$ , avec égalité si et seulement si les $e^{i φ_{k}}$ sont tous égaux.

Corrigé de la question 1

La stratégie. Tourner l'intégrale. Un complexe de module donné atteint sa plus grande partie réelle quand il est réel positif. On multiplie l'intégrale par $e^{- i θ}$ pour la rendre réelle positive, on prend les parties réelles, et le théorème « continue, positive, d'intégrale nulle » fait le reste.

a) Le calcul. Pour $λ$ complexe non nul, $\frac{e ^{λ t}}{λ}$ est une primitive de $e^{λ t}$ ; avec $λ = i$ et $\frac{1}{i} = - i$ : $\int_{0}^{π} e^{i t} d t = [\frac{e ^{i t}}{i}]_{0}^{π} = \frac{e ^{iπ} - 1}{i} = \frac{- 2}{i} = 2 i,$ ce que confirme la définition par parties réelle et imaginaire : $\int_{0}^{π} cos t d t = 0$ et $\int_{0}^{π} sin t d t = 2$ . Donc $\int_{0}^{π} e^{i t} d t = 2$ , tandis que $\int_{0}^{π} ∣ e^{i t} ∣ d t = π$ : la majoration est stricte, $2 < π$ . L'image : $z (t) = \int_{0}^{t} e^{i s} d s = i - i e^{i t}$ décrit, à vitesse de module $1$ , le demi-cercle de centre $i$ et de rayon $1$ qui va de $0$ à $2 i$ : le chemin mesure $π$ , le déplacement $2$ . La corde est plus courte que l'arc.

Question 2 : comment l'IA t'aide

Élève

Je voudrais appliquer « continue, positive, d'intégrale nulle » à $∣ f ∣ - e^{- i θ} f$ , mais cette fonction est à valeurs complexes, et je ne sais pas ce que veut dire « positive » pour elle.

C'est précisément pour cela que l'énoncé fait intervenir une partie réelle. Commence par la première égalité : que vaut $e^{- i θ} \int_{a}^{b} f$ d'après l'hypothèse, et comment la partie réelle d'une intégrale complexe s'exprime-t-elle ?

Élève

$e^{- i θ} \int_{a}^{b} f = \int_{a}^{b} f = \int_{a}^{b} ∣ f ∣$ , qui est réel. Et la partie réelle de $\int_{a}^{b} e^{- i θ} f$ est $\int_{a}^{b} Re (e^{- i θ} f)$ , par définition de l'intégrale d'une fonction complexe.

Pour passer à $f$ elle-même, quel est le signe de $∣ f (t) ∣ - Re (e^{- i θ} f (t))$ , et pourquoi ? Et si un complexe $w$ vérifie $Re w = ∣ w ∣$ , que peux-tu dire de sa partie imaginaire ?

L'IA ne donne pas la réponse : elle pose la question qui fait avancer. À toi de continuer.

Continue cet exercice avec l'IA

Reprends la question 2 là où le dialogue s'arrête, puis la suite de l'exercice.

Continuer avec l'IA — gratuit, sans inscription

Gratuit, sans inscription. L'IA te guide pas à pas, sans te donner la réponse.

Le cours du chapitre · Tous les exercices du chapitre

Continuer avec l'IA, gratuit →