La corde et l'arc : quand la majoration du module est une égalité

La stratégie. Tourner l'intégrale. Un complexe de module donné atteint sa plus grande partie réelle quand il est réel positif. On multiplie l'intégrale par $e^{-i\theta }$ pour la rendre réelle positive, on prend les parties réelles, et le théorème « continue, positive, d'intégrale nulle » fait le reste.

a) Le calcul. Pour $\lambda$ complexe non nul, $\frac{e^{\lambda t}}{\lambda }$ est une primitive de $e^{\lambda t}$ ; avec $\lambda =i$ et $\frac{1}{i}=-i$ : $${\int }_0^{\pi }{e}^{it}\mathrm{d}t={\left[\frac{e^{it}}{i}\right]}_0^{\pi }=\frac{e^{i\pi }-1}{i}=\frac{-2}{i}=2i,$$ ce que confirme la définition par parties réelle et imaginaire : ${\int }_0^{\pi }\cos t\mathrm{d}t=0$ et ${\int }_0^{\pi }\sin t\mathrm{d}t=2$. Donc $\left|{\int }_0^{\pi }{e}^{it}\mathrm{d}t\right|=2$, tandis que ${\int }_0^{\pi }|e^{it}|\mathrm{d}t=\pi$ : la majoration est stricte, $2<\pi$. L'image : $z(t)={\int }_0^t{e}^{is}\mathrm{d}s=i-i{e}^{it}$ décrit, à vitesse de module $1$, le demi-cercle de centre $i$ et de rayon $1$ qui va de $0$ à $2i$ : le chemin mesure $\pi$, le déplacement $2$. La corde est plus courte que l'arc.

b) Le cas d'égalité. Tourner. Par hypothèse, $e^{-i\theta }{\int }_a^{b}f=\left|{\int }_a^{b}f\right|={\int }_a^b|f|$, qui est réel. Par linéarité à coefficients complexes, $e^{-i\theta }{\int }_a^{b}f={\int }_a^b{e}^{-i\theta }f$, et l'intégrale d'une fonction complexe est définie par ses parties réelle et imaginaire : la partie réelle de ${\int }_a^b{e}^{-i\theta }f$ est ${\int }_a^b\mathrm{Re}\left(e^{-i\theta }f\right)$. En prenant les parties réelles, $${\int }_a^b\mathrm{Re}(e^{-i\theta }f(t))\mathrm{d}t={\int }_a^b|f(t)|\mathrm{d}t,$$ d'où $${\int }_a^b(|f(t)|-\mathrm{Re}(e^{-i\theta }f(t)\left)\right)\mathrm{d}t=0.$$ Conclure. L'intégrande est continu, réel et positif, car la partie réelle d'un complexe est majorée par son module et $|e^{-i\theta }f(t)|=|f(t)|$. Continu, positif, d'intégrale nulle : il est nul. En chaque $t$, le complexe $w=e^{-i\theta }f(t)$ vérifie donc $\mathrm{Re}w=|w|$ ; alors $(\mathrm{Re}w{)}^2=|w{|}^2=(\mathrm{Re}w{)}^2+(\mathrm{Im}w{)}^2$, d'où $\mathrm{Im}w=0$ et $w=|w|$ : $w$ est un réel positif. Ainsi $$f(t)=e^{i\theta }|f(t)|\text{pour tout }t\in [a,b]:$$ là où $f$ ne s'annule pas, son argument est constant, égal à $\theta$.

Réciproque. Si $f=e^{i\theta }|f|$, alors ${\int }_a^{b}f=e^{i\theta }{\int }_a^b|f|$, dont le module est ${\int }_a^b|f|$. (L'hypothèse « non nul » ne sert qu'à définir $\theta$ : si ${\int }_a^b|f|=0$, alors $f=0$.)

Le point délicat. On ne peut pas appliquer « continue, positive, d'intégrale nulle » à une fonction à valeurs complexes, où la positivité n'a pas de sens : on l'applique à la fonction réelle $|f|-\mathrm{Re}\left(e^{-i\theta }f\right)$, puis un calcul sur un seul complexe conclut en chaque point.

c) Le cas réel. Si ${\int }_a^b|f|=0$, $f=0$. Sinon, le b) donne $f=e^{i\theta }|f|$ avec $e^{i\theta }=\frac{{\int }_a^{b}f}{|{\int }_a^{b}f|}$ réel de module $1$, donc égal à $1$ ou à $-1$ : $f=|f|\ge 0$ ou $f=-|f|\le 0$. Réciproquement, si $f\ge 0$, $\left|{\int }_a^{b}f\right|={\int }_a^{b}f={\int }_a^b|f|$, et si $f\le 0$, $\left|{\int }_a^{b}f\right|=-{\int }_a^{b}f={\int }_a^b|f|$. Lecture directe, sans complexes : si ${\int }_a^{b}f\ge 0$, l'égalité s'écrit ${\int }_a^b(|f|-f)=0$, avec $|f|-f$ continue et positive, donc nulle ; si ${\int }_a^{b}f\le 0$, de même avec $|f|+f$.

d) Les vibrations. L'inégalité : par l'inégalité triangulaire, étendue de deux à $N$ termes par récurrence, $\left|{\sum }_{k=1}^{N}A{e}^{i{\phi }_k}\right|\le {\sum }_{k=1}^N|A{e}^{i{\phi }_k}|=NA$.

Le cas d'égalité, par le même geste, une somme finie remplaçant l'intégrale. Notons $\Sigma ={\sum }_{k=1}^{N}A{e}^{i{\phi }_k}$, supposons $|\Sigma |=NA$ et écrivons $\Sigma =NA{e}^{i\theta }$. En prenant la partie réelle de $e^{-i\theta }\Sigma =NA$ : $$\sum _{k=1}^N(A-\mathrm{Re}(A{e}^{i({\phi }_k-\theta )}\left)\right)=0.$$ Chaque terme est positif, la partie réelle étant majorée par le module $A$ ; une somme de termes positifs n'est nulle que si chacun l'est. Donc $\mathrm{Re}\left(e^{i({\phi }_k-\theta )}\right)=1$, et, comme au b), le complexe $e^{i({\phi }_k-\theta )}$, de module $1$, est un réel positif : il vaut $1$, et $e^{i{\phi }_k}=e^{i\theta }$ pour tout $k$. La réciproque est immédiate : si tous les $e^{i{\phi }_k}$ valent $e^{i\phi }$, $\Sigma =NA{e}^{i\phi }$.

La lecture physique. $N$ vibrations de même amplitude n'atteignent l'amplitude maximale $NA$ que si elles sont toutes en phase : c'est l'interférence constructive. Dès que deux phases diffèrent, l'amplitude résultante est strictement plus petite — jusqu'à s'annuler pour deux vibrations en opposition de phase.

Ce que l'exercice installe. Égalité dans une inégalité triangulaire, donc alignement : on tourne pour rendre la somme réelle positive, on compare partie réelle et module terme à terme, et la positivité force l'alignement — pour une intégrale comme pour une somme finie. En géométrie, c'est le cas d'égalité de l'inégalité triangulaire pour des vecteurs du plan : $\Vert \overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\Vert =\Vert \overrightarrow{u}\Vert +\Vert \overrightarrow{v}\Vert$ si et seulement si les vecteurs sont colinéaires et de même sens ; en mécanique, une résultante de forces de normes données n'atteint la somme des normes que si toutes les forces sont dirigées dans le même sens.