La série harmonique alternée, certifiée

Stratégie : appliquer l'inégalité de Taylor-Lagrange, en majorant la dérivée sur tout le segment. Toute la difficulté est de calculer les dérivées successives du logarithme, puis de majorer la dérivée d'ordre $n+1$ — au bon endroit.

1) Les dérivées successives. Pour $f(x)=\ln (1+x)$ sur $[0,1]$ :

$$f^{\prime }(x)=\frac{1}{1+x},f^{\prime \prime }(x)=\frac{-1}{(1+x{)}^2},\text{et en geˊneˊral}{f}^{(k)}(x)=\frac{(-1{)}^{k-1}(k-1)!}{(1+x{)}^k}$$

pour $k\ge 1$, ce qu'une récurrence immédiate établit. En $x=0$ : $f(0)=0$ et $f^{(k)}(0)=(-1{)}^{k-1}(k-1)!$, donc

$$\frac{f^{(k)}(0)}{k!}=\frac{(-1{)}^{k-1}(k-1)!}{k!}=\frac{(-1{)}^{k-1}}{k}.$$

Le polynôme de Taylor d'ordre $n$ en $0$ est donc exactement $\sum _{k=1}^n\frac{(-1{)}^{k-1}{x}^k}{k}$, celui de l'énoncé.

2) La majoration de la dérivée d'ordre $n+1$. On a $\left|f^{(n+1)}(x)\right|=\frac{n!}{(1+x{)}^{n+1}}$. Sur le segment $[0,x]\subset [0,1]$, cette quantité est maximale en $0$, où elle vaut $n!$. Donc on peut prendre $M_{n+1}=n!$.

⚠️ Le point délicat est le lieu où l'on majore. La tentation est d'évaluer la dérivée au point $x$ qu'on étudie, ce qui donnerait $\frac{n!}{(1+x{)}^{n+1}}$ — un nombre plus petit, donc une majoration plus belle, et fausse. L'inégalité de Taylor-Lagrange exige un majorant valable sur tout le segment joignant $0$ à $x$, et le maximum y est atteint à l'extrémité $0$. Une borne prise ailleurs ne majore rien.

3) L'inégalité. L'inégalité de Taylor-Lagrange en $a=0$ donne, pour $x\in [0,1]$ :

$$\left|\ln (1+x)-\sum _{k=1}^n\frac{(-1{)}^{k-1}{x}^k}{k}\right|\le n!\frac{|x{|}^{n+1}}{(n+1)!}=\frac{x^{n+1}}{n+1}\le \frac{1}{n+1},$$

la dernière majoration venant de $0\le x\le 1$.

4) La série harmonique alternée. Prenons $x=1$ :

$$\left|\ln 2-\sum _{k=1}^n\frac{(-1{)}^{k-1}}{k}\right|\le \frac{1}{n+1}\underset{n\to \infty }{\to }0,\text{donc}\boxed{\sum _{k=1}^n\frac{(-1{)}^{k-1}}{k}\underset{n\to \infty }{\to }\ln 2.}$$

C'est la deuxième fois que $\ln 2$ apparaît dans ce chapitre : d'abord comme limite de la somme de Riemann ${\sum }_{k=1}^n\frac{1}{n+k}$, maintenant comme limite des sommes partielles de la série harmonique alternée.

Contrôle numérique en $n=9$. La somme partielle vaut $1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\cdots +\frac{1}{9}=0,74563$, à comparer à $\ln 2=0,69315$. L'écart est $0,05249$, bien inférieur à la borne annoncée $\frac{1}{10}=0,1$. ✔

⚠️ Et voici le contraste à retenir. Pour approcher $e$ à $10^{-6}$ près par la somme des inverses des factorielles, une dizaine de termes suffisent, parce que le majorant de Taylor-Lagrange y est en $\frac{3}{(n+1)!}$ : une factorielle. Ici le majorant est en $\frac{1}{n+1}$ : il faut de l'ordre de mille termes pour trois décimales, et un million pour six. Deux sommes qui se ressemblent, deux vitesses de convergence sans commune mesure — et c'est le majorant de Taylor-Lagrange qui le dit, avant tout calcul.

Ce que l'exercice installe. L'inégalité de Taylor-Lagrange ne fait pas que certifier une valeur approchée : en faisant tendre $n$ vers l'infini, elle calcule des limites de sommes. Elle est l'outil qui relie une fonction à son développement en puissances.