Parité et périodicité

$x\mapsto x^3\cos x$ est impaire (impaire $\times$ paire) et le segment $[-\pi ,\pi ]$ est centré en $0$ : l'intégrale est nulle — zéro calcul.

Pour la seconde, on linéarise (chapitre 2) : ${\sin }^{2}t=\frac{1-\cos 2t}{2}$, et $\cos 2t$ est $\pi$-périodique d'intégrale nulle sur $[0,2\pi ]$ (deux périodes complètes) :

$${\int }_0^{2\pi }{\sin }^{2}t\mathrm{d}t=\frac{1}{2}\times 2\pi -0=\pi .$$