Rectangles contre trapèzes, chiffrés

Les nœuds sont $0,\frac{1}{4},\frac{1}{2},\frac{3}{4},1$, et $f(x)=x^2$ y vaut $0,\frac{1}{16},\frac{4}{16},\frac{9}{16},1$.

Rectangles : $R_4=\frac{1}{4}\left(0+\frac{1}{16}+\frac{4}{16}+\frac{9}{16}\right)=\frac{14}{64}=0,21875$, erreur $\approx 0,1146$.

Trapèzes : $T_4=\frac{1}{4}\left(\frac{0+1}{2}+\frac{1}{16}+\frac{4}{16}+\frac{9}{16}\right)=\frac{14}{64}+\frac{1}{8}=0,34375$, erreur $\approx 0,0104$ — onze fois mieux pour le même nombre d'évaluations.

Explication : l'erreur des rectangles vaut ici essentiellement $\frac{f(1)-f(0)}{2n}(b-a)=\frac{1}{8}=0,125$ : elle décroît en $\frac{1}{n}$. Celle des trapèzes vaut $-\frac{(b-a{)}^3}{12n^2}{f}^{\prime \prime }$ (avec $f^{\prime \prime }=2$, constante ici) $=-\frac{2}{12\times 16}=-\frac{1}{96}\approx -0,0104$ — exactement l'erreur observée — et décroît en $\frac{1}{n^2}$ : doubler $n$ divise l'une par $2$, l'autre par $4$. À budget de calcul fixé, l'ordre de la méthode est décisif — c'est la leçon des vitesses de convergence (chapitres 6 et 8), et la porte d'entrée de l'analyse numérique.