Sommes de Riemann classiques

Intégration · C. Sommes de Riemann · niveau 2

Énoncé

Déterminer les limites de $u_{n} = k = 1 \sum n \frac{1}{n + k}$ et $v_{n} = k = 1 \sum n \frac{n}{n ^{2} + k ^{2}}$ .

Corrigé

On fait apparaître $\frac{1}{n} \sum f (\frac{k}{n})$ :

$u_{n} = \frac{1}{n} k = 1 \sum n \frac{1}{1 + \frac{k}{n}} n \to \infty \int_{0}^{1} \frac{d x}{1 + x} = ln 2,$

$v_{n} = \frac{1}{n} k = 1 \sum n \frac{1}{1 + ( \frac{k}{n} ) ^{2}} n \to \infty \int_{0}^{1} \frac{d x}{1 + x ^{2}} = Arctan 1 = \frac{π}{4} .$

(Les sommes de Riemann à droite convergent vers la même intégrale ; on retrouve $u_{n} \to ln 2$ , dont la convergence avait été établie au chapitre 5 par le théorème de la limite monotone — deux méthodes, une limite.)

Énoncé

Corrigé

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