Sommes de Riemann classiques

On fait apparaître $\frac{1}{n}\sum f\left(\frac{k}{n}\right)$ :

$$u_n=\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n\frac{1}{1+\frac{k}{n}}\underset{n\to \infty }{\to }{\int }_0^1\frac{\mathrm{d}x}{1+x}=\ln 2,$$

$$v_n=\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n\frac{1}{1+{\left(\frac{k}{n}\right)}^2}\underset{n\to \infty }{\to }{\int }_0^1\frac{\mathrm{d}x}{1+x^2}=\mathrm{Arctan}1=\frac{\pi }{4}.$$

(Les sommes de Riemann à droite convergent vers la même intégrale ; on retrouve $u_n\to \ln 2$, dont la convergence avait été établie au chapitre 5 par le théorème de la limite monotone — deux méthodes, une limite.)