Taylor-Lagrange en action

Application directe du cours · niveau 3 (difficile) · mathématiques (PTSI), chapitre 14 — Intégration · E. Inégalité de Taylor-Lagrange

Énoncé

À l'aide de l'inégalité de Taylor-Lagrange appliquée à $exp$ sur $[0, 1]$ , déterminer un entier $n$ tel que $k = 0 \sum n \frac{1}{k !}$ approche $e$ à $1 0^{- 6}$ près, et justifier au passage que $e = lim \sum_{k = 0}^{n} \frac{1}{k !}$ .

Corrigé

$exp$ est $C^{\infty}$ et $exp^{(n + 1)} = e^{x} \leq e \leq 3$ sur $[0, 1]$ . L'inégalité de Taylor-Lagrange en $a = 0$ , $x = 1$ :

$e - k = 0 \sum n \frac{1}{k !} \leq \frac{3}{( n + 1 )!} .$

Le majorant tend vers $0$ : la somme converge vers $e$ (croissances comparées, chapitre 8). Pour $1 0^{- 6}$ : $\frac{3}{( n + 1 )!} \leq 1 0^{- 6} ⟺ (n + 1)! \geq 3 \times 1 0^{6}$ ; or $9! = 362880$ et $10! = 3628800 \geq 3 \times 1 0^{6}$ : $n = 9$ suffit. Neuf termes pour six décimales : la convergence factorielle est foudroyante — et certifiée, ce que Taylor-Young (local !) n'aurait jamais permis d'affirmer.

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.