Une fenêtre d'une période se déplace sans rien changer

Stratégie : dériver au lieu de calculer. On ne cherche pas la valeur de l'intégrale, seulement à établir qu'elle ne bouge pas. Le théorème fondamental permet de dériver la fonction sans jamais connaître de primitive explicite, et la périodicité annule la dérivée.

1) La fonction est constante. Posons $G(x)={\int }_x^{x+T}f(t)\mathrm{d}t$. Comme $f$ est continue sur $\mathbb{R}$, elle y admet une primitive $F$, et par la relation de Chasles

$$G(x)=F(x+T)-F(x).$$

Cette écriture montre que $G$ est dérivable, de dérivée

$$G^{\prime }(x)=F^{\prime }(x+T)-F^{\prime }(x)=f(x+T)-f(x)=0$$

par $T$-périodicité de $f$. Une fonction de dérivée nulle sur un intervalle y est constante, donc $G$ est constante sur $\mathbb{R}$, égale à sa valeur en $0$ :

$$\boxed{\forall x\in \mathbb{R},{\int }_x^{x+T}f={\int }_0^{T}f.}$$

⚠️ Le point délicat est le mot « intervalle ». « Dérivée nulle donc constante » est faux sur une réunion de deux intervalles disjoints — une fonction peut y valoir $0$ d'un côté et $1$ de l'autre. Ici le domaine est $\mathbb{R}$ tout entier, l'argument est légitime ; mais c'est une hypothèse qu'il faut voir, et non passer sous silence.

2) L'intégrale sur $n$ périodes. Découpons $[0,nT]$ en $n$ tranches d'une période, par la relation de Chasles :

$${\int }_0^{nT}f=\sum _{k=0}^{n-1}{\int }_{kT}^{(k+1)T}f=\sum _{k=0}^{n-1}G(kT)=\sum _{k=0}^{n-1}{\int }_0^{T}f=n{\int }_0^{T}f,$$

puisque chacune des $n$ tranches est une fenêtre de largeur $T$, dont l'intégrale vaut ${\int }_0^{T}f$ d'après la première partie.

Contrôle numérique sur trois exemples. Pour $f=\sin$ et $T=2\pi$ : ${\int }_x^{x+2\pi }\sin =[-\cos {]}_x^{x+2\pi }=-\cos (x+2\pi )+\cos x=0$, valeur constante et nulle. Pour $f={\sin }^2$, qui est $\pi$-périodique : ${\int }_0^{\pi }{\sin }^2=\frac{\pi }{2}$ et ${\int }_0^{2\pi }{\sin }^2=\pi =2\times \frac{\pi }{2}$. Pour $f=|\sin |$, également $\pi$-périodique : ${\int }_0^{\pi }|\sin |=2$, et le calcul de ${\int }_0^{3\pi }|\sin |$ donne $6=3\times 2$. ✔

Une variante à savoir refaire. Le même argument montre que ${\int }_{-a}^{a}f=2{\int }_0^{a}f$ pour $f$ paire, et $0$ pour $f$ impaire : chaque fois, on dérive une intégrale à bornes mobiles et l'hypothèse de symétrie tue la dérivée.

Ce que l'exercice installe. Dès qu'une fonction est périodique, une intégrale sur un intervalle quelconque se ramène à une intégrale sur une seule période, à un décalage près. C'est le geste de base du traitement du signal : on ne calcule jamais qu'une période, on multiplie ensuite.