Les anagrammes d'ANANAS

Stratégie : compter comme si tout était distinct, puis diviser par le surcomptage. C'est le principe du berger : quand chaque objet a été compté exactement $k$ fois, on divise par $k$. Encore faut-il vérifier que le surcomptage est bien le même pour tous.

1) L'inventaire des lettres. Le mot ANANAS comporte six lettres : trois $A$, deux $N$ et un $S$.

2) Première méthode, par division. Imaginons un instant les trois $A$ étiquetés $A_1$, $A_2$, $A_3$ et les deux $N$ étiquetés $N_1$, $N_2$. Toutes les lettres sont alors distinctes et il y a $6!=720$ mots.

Effaçons maintenant les étiquettes. Deux mots étiquetés donnent le même mot ordinaire exactement quand ils ne diffèrent que par l'ordre des $A$ entre eux et des $N$ entre eux : cela fait $3!\times 2!=6\times 2=12$ mots étiquetés pour chaque anagramme véritable. Le surcomptage vaut $12$ pour tous les anagrammes, sans exception, donc

$$\frac{6!}{3!2!1!}=\frac{720}{12}=\boxed{60\text{anagrammes.}}$$

⚠️ Le point délicat est l'uniformité du surcomptage. La division n'est légitime que parce que chaque anagramme provient d'exactement $12$ mots étiquetés — pas de $10$ pour l'un et de $14$ pour l'autre. Si l'on divise un compte par un facteur qui varie d'un objet à l'autre, on n'obtient rien du tout.

3) Deuxième méthode, par les positions. Un anagramme est entièrement déterminé par le choix des places de chaque lettre. On choisit d'abord les $3$ positions des $A$ parmi les $6$ disponibles, soit $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{3}\right)=20$ façons ; puis les $2$ positions des $N$ parmi les $3$ places restantes, soit $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{2}\right)=3$ façons ; le $S$ occupe alors la dernière place, sans choix. Au total

$$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{3}\right)\times \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{2}\right)\times \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{1}\right)=20\times 3\times 1=60$$

— même résultat, par un chemin totalement indépendant du premier.

Contrôle numérique par énumération exhaustive. En engendrant les $720$ permutations des six lettres et en ne retenant que les mots deux à deux différents, on en trouve exactement $60$. ✔

La comparaison qui fait sentir l'effet des répétitions. Le mot MATHS, à cinq lettres toutes distinctes, a $5!=120$ anagrammes. ANANAS a une lettre de plus, mais deux fois moins d'anagrammes : les répétitions ne coûtent pas un peu, elles divisent.

Ce que l'exercice installe. La formule générale des permutations avec répétitions : un mot formé de $n$ lettres dont $n_1$ identiques, $n_2$ identiques, et ainsi de suite, a $\frac{n!}{n_1!n_2!\cdots }$ anagrammes. On retrouvera exactement la même expression en distribuant des cartes entre plusieurs joueurs.