Les trente diviseurs de sept cent vingt

Stratégie : encoder chaque diviseur par un triplet d'exposants, puis appliquer le principe de multiplication. Un diviseur est un objet arithmétique ; le codage le transforme en un choix successif de trois nombres indépendants, que l'on sait compter.

1) Le codage. L'unicité de la décomposition en facteurs premiers, établie au chapitre 1, dit qu'un entier $d$ divise $720=2^4\times 3^2\times 5$ si et seulement s'il s'écrit

$$d=2^a\times 3^b\times 5^c,0\le a\le 4,0\le b\le 2,0\le c\le 1,$$

et cette écriture est unique. Se donner un diviseur revient donc exactement à se donner le triplet d'exposants $(a,b,c)$, c'est-à-dire un élément du produit cartésien

$$\{0,1,2,3,4\}\times \{0,1,2\}\times \{0,1\}.$$

2) Le comptage. Le cardinal d'un produit cartésien est le produit des cardinaux :

$$\boxed{5\times 3\times 2=30\text{diviseurs positifs.}}$$

⚠️ Le point délicat est le décompte des valeurs possibles pour chaque exposant. L'exposant de $2$ peut prendre cinq valeurs, de $0$ à $4$, et non quatre : c'est l'exposant plus un. Oublier la valeur $0$ — parfaitement légitime, elle donne les diviseurs qui n'utilisent pas le facteur en question, et à trois exposants nuls le diviseur $1$ — conduirait au compte faux $4\times 2\times 1=8$.

Contrôle numérique par énumération. Les diviseurs de $720$ sont $1$, $2$, $3$, $4$, $5$, $6$, $8$, $9$, $10$, $12$, $15$, $16$, $18$, $20$, $24$, $30$, $36$, $40$, $45$, $48$, $60$, $72$, $80$, $90$, $120$, $144$, $180$, $240$, $360$ et $720$. Un balayage de tous les entiers de $1$ à $720$ en trouve exactement $30$. ✔

La formule générale. Le même raisonnement, mot pour mot, donne : si $N=p_1^{{\alpha }_1}\cdots p_r^{{\alpha }_r}$ est la décomposition en facteurs premiers, alors le nombre de diviseurs positifs de $N$ vaut

$$({\alpha }_1+1)({\alpha }_2+1)\cdots ({\alpha }_r+1).$$

Elle livre au passage un joli critère : ce produit est impair si et seulement si tous les exposants sont pairs, c'est-à-dire si et seulement si $N$ est un carré parfait. Un entier a donc un nombre impair de diviseurs exactement quand c'est un carré — et $720$, qui en a $30$, n'en est pas un.

Ce que l'exercice installe. Le principe de multiplication ne compte pas seulement des tirages : il compte tout ce qu'on peut décrire par une suite de choix indépendants. Ici les choix sont des exposants, et l'arithmétique du chapitre 1 fournit gratuitement le codage.