Parties de cardinal pair

Application directe du cours · niveau 2 · mathématiques (PTSI), chapitre 15 — Dénombrement · C. Combinaisons et identités

Énoncé

Soit $E$ de cardinal $n \geq 1$ . Montrer que le nombre de parties de $E$ de cardinal pair vaut $2^{n - 1}$ — autant que de parties de cardinal impair.

Corrigé

Notons $P$ et $I$ les nombres de parties de cardinal pair et impair. En triant les $2^{n}$ parties par cardinal :

$P + I = k \sum (k n) = 2^{n}, P - I = k \sum (- 1)^{k} (k n) = (1 - 1)^{n} = 0$

(formule du binôme avec $a = - 1$ , $b = 1$ ; ici $n \geq 1$ ). D'où $P = I = 2^{n - 1}$ .

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.