Ce qu'une série positive convergente transmet

Exercice de TD · niveau 2 · mathématiques (PTSI), chapitre 17 — Séries numériques · B. Séries à termes positifs

Énoncé

Soient $(u_{n})_{n \geq 1}$ et $(v_{n})_{n \geq 1}$ deux suites positives telles que les séries $\sum u_{n}$ et $\sum v_{n}$ convergent.

a) Montrer que $\sum u_{n}^{2}$ converge.

b) Montrer que $\sum u_{n} v_{n}$ et $\sum max (u_{n}, v_{n})$ convergent (on pourra utiliser $ab \leq \frac{a + b}{2}$ ).

c) En déduire que $\sum \frac{u _{n}}{n}$ converge.

d) Montrer par des exemples que les réciproques sont fausses : $\sum u_{n}^{2}$ , ou $\sum \frac{u _{n}}{n}$ , peut converger sans que $\sum u_{n}$ converge ; et $\sum u_{n}$ peut diverger alors que $\sum u_{n}$ converge.

Corrigé

Ce qu'on a le droit d'utiliser. Le théorème de comparaison des séries à termes positifs, la condition nécessaire $u_{n} \to 0$ , la linéarité, les séries de Riemann. Rien d'autre.

La stratégie. Majorer le terme général par celui d'une série positive convergente déjà connue — $\sum u_{n}$ , $\sum v_{n}$ , $\sum \frac{1}{n ^{2}}$ ou une combinaison : tout le travail est de trouver l'inégalité.

a) Les carrés. Comme $\sum u_{n}$ converge, $u_{n} \to 0$ : il existe un rang $N$ à partir duquel $u_{n} \leq 1$ , et alors $0 \leq u_{n}^{2} = u_{n} \times u_{n} \leq u_{n}$ . Les premiers termes ne changent pas la nature d'une série : par comparaison, $\sum u_{n}^{2}$ converge.

Le point délicat. L'inégalité $u_{n}^{2} \leq u_{n}$ est fausse en général — pour $u_{n} = 2$ , elle dirait $4 \leq 2$ . Elle n'est vraie que pour $u_{n} \leq 1$ , et c'est la convergence de $\sum u_{n}$ qui fournit le rang à partir duquel c'est le cas.

b) La moyenne géométrique et le maximum. Pour $a, b \geq 0$ , $\frac{a + b}{2} - ab = \frac{( a - b ) ^{2}}{2} \geq 0.$ Donc $0 \leq u_{n} v_{n} \leq \frac{u _{n} + v _{n}}{2}$ , terme d'une série convergente par linéarité : par comparaison, $\sum u_{n} v_{n}$ converge. Et $max (u_{n}, v_{n})$ est l'un des deux nombres positifs $u_{n}$ , $v_{n}$ ; lui ajouter l'autre ne peut que l'augmenter, donc $0 \leq max (u_{n}, v_{n}) \leq u_{n} + v_{n}$ , et $\sum max (u_{n}, v_{n})$ converge.

c) Le poids $\frac{1}{n}$ . Appliquons le b) avec $v_{n} = \frac{1}{n ^{2}}$ , positive et de série convergente : $u_{n} v_{n} = \frac{u _{n}}{n}$ , et $0 \leq \frac{u _{n}}{n} \leq \frac{1}{2} (u_{n} + \frac{1}{n ^{2}})$ : la série converge. Le poids $\frac{1}{n}$ est exactement la racine carrée du terme d'une série convergente ; l'inégalité répartit le produit entre deux séries convergentes.

d) Les réciproques. Avec $u_{n} = \frac{1}{n}$ : $\sum u_{n}$ diverge, mais $\sum u_{n}^{2} = \sum \frac{1}{n ^{2}}$ et $\sum \frac{u _{n}}{n} = \sum \frac{1}{n ^{3/2}}$ convergent (Riemann). Avec $u_{n} = \frac{1}{n ^{2}}$ : $\sum u_{n}$ converge, mais $\sum u_{n} = \sum \frac{1}{n}$ diverge.

Contrôle. Pour $u_{n} = \frac{1}{n ^{2}}$ , le majorant du c) vaut $\frac{1}{n ^{2}} = \frac{u _{n}}{n}$ : c'est le cas d'égalité $a = b$ , et l'inégalité ne peut pas être améliorée.

Ce que l'exercice installe. Dans le positif, une inégalité élémentaire terme à terme transmet la convergence — et les réciproques sont fausses. L'inégalité $2 ab \leq a + b$ majore un produit par une somme : en physique, elle borne le terme d'interférence de deux ondes, $2 I_{1} I_{2} cos φ$ , par $I_{1} + I_{2}$ ; en probabilités, elle donne $∣ E (X Y)∣ \leq \frac{E ( X ^{2} ) + E ( Y ^{2} )}{2}$ .

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