Comparaison série-intégrale

$t\mapsto \frac{1}{t\ln t}$ est décroissante sur $[2,+\infty [$ ; la méthode des rectangles donne

$$\sum _{n=2}^N\frac{1}{n\ln n}\ge {\int }_2^{N+1}\frac{\mathrm{d}t}{t\ln t}=[\ln (\ln t){]}_2^{N+1}=\ln \ln (N+1)-\ln \ln 2\underset{N\to \infty }{\to }+\infty :$$

la série diverge, et l'encadrement dans l'autre sens donne ${\sum }_{n=2}^N\frac{1}{n\ln n}\sim \ln \ln N$. Divergence d'une lenteur stupéfiante ($\ln \ln 10^9\approx 3$) — et pourtant divergence : la frontière de Riemann ($\frac{1}{n}$ diverge, $\frac{1}{n^{1+\epsilon }}$ converge) se raffine à l'infini.