Convergence absolue par domination

Application directe du cours · niveau 2 · mathématiques (PTSI), chapitre 17 — Séries numériques · C. Convergence absolue et sommabilité

Énoncé

Déterminer la nature de $\sum \frac{cos n}{n ^{2}}$ et $\sum \frac{( - 1 ) ^{n} n}{2 ^{n}}$ .

Corrigé

$\frac{c o s n}{n ^{2}} \leq \frac{1}{n ^{2}}$ : domination par une série de Riemann convergente, donc absolument convergente — convergente (le signe erratique de $cos n$ ne gêne en rien).

Pour la seconde : $n^{2} \cdot \frac{n}{2 ^{n}} = \frac{n ^{3}}{2 ^{n}} \to 0$ (croissances comparées, analyse asymptotique), donc $\frac{n}{2 ^{n}} = O (\frac{1}{n ^{2}})$ : absolument convergente — la suite $(\frac{( - 1 ) ^{n} n}{2 ^{n}})$ est sommable. (Le réflexe « $n^{2} u_{n} \to 0$ » règle la quasi-totalité des séries à décroissance rapide.)

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