Deux faux amis

Application directe du cours · niveau 2 · mathématiques (PTSI), chapitre 17 — Séries numériques · B. Séries à termes positifs

Énoncé

Déterminer la nature de $n \geq 1 \sum (n + 1 - n)$ et $n \geq 1 \sum \frac{1}{n ^{1 + 1/ n}}$ .

Corrigé

Pour la première, deux points de vue concordent. Télescopique : les sommes partielles valent $N + 1 - 1 \to + \infty$ — la série diverge, car la suite $(n)$ diverge (lien suite-série). Équivalent : la quantité conjuguée donne $n + 1 - n = \frac{1}{n + 1 + n} \sim \frac{1}{2 n}$ , Riemann $α = \frac{1}{2}$ : divergence — bien que le terme général tende vers $0$ .

Pour la seconde, l'exposant $1 + \frac{1}{n} > 1$ semble invoquer Riemann... mais il n'est pas constant ! On écrit $n^{1/ n} = e^{\frac{l n n}{n}} \to 1$ , donc

$\frac{1}{n ^{1 + 1/ n}} = \frac{1}{n \cdot n ^{1/ n}} \sim \frac{1}{n} :$

la série diverge par équivalence avec la série harmonique. Moralité : Riemann exige un exposant fixe ; en cas de doute, revenir à un équivalent.

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.