L'irrationalité de $e$, puis de $e^2$

Ce qu'on a le droit d'utiliser. La série de $e^z$ en $z=1$ et $z=-1$ ; les séries géométriques ; la comparaison ; l'inégalité triangulaire pour une série absolument convergente ; et le fait qu'aucun entier n'est strictement compris entre deux entiers consécutifs.

La stratégie. Le reste de la série exponentielle est dominé par une série géométrique ; il est si petit que, multiplié par $n!$, il tombe strictement entre deux entiers consécutifs — ce qui est impossible si le nombre est rationnel.

a) Le reste. $R_n={\sum }_{k=n+1}^{+\infty }\frac{1}{k!}$ est une somme de termes strictement positifs : $R_n\ge \frac{1}{(n+1)!}>0$. Pour $k\ge n+1$, $k!=n!\times (n+1)(n+2)\cdots k\ge n!(n+1{)}^{k-n}$, chacun des $k-n$ facteurs valant au moins $n+1$. En sommant ces inégalités entre termes positifs : $$R_n\le \frac{1}{n!}\sum _{j=1}^{+\infty }{\left(\frac{1}{n+1}\right)}^j=\frac{1}{n!}\cdot \frac{\frac{1}{n+1}}{1-\frac{1}{n+1}}=\frac{1}{n!n}.$$

b) $e$ est irrationnel (la preuve de Fourier, 1815). Supposons $e=\frac{p}{q}$, avec $p,q\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. D'abord $q\ge 2$ : le a) pour $n=2$ donne $2,5<e\le 2,75$, donc $e$ n'est pas entier. Le a) pour $n=q$, multiplié par $q!>0$, donne $$0<q!e-\sum _{k=0}^q\frac{q!}{k!}\le \frac{1}{q}\le \frac{1}{2}.$$ Or $q!e=p(q-1)!$ est un entier, et chaque $\frac{q!}{k!}=(k+1)(k+2)\cdots q$ aussi : la quantité du milieu est un entier strictement compris entre $0$ et $1$. Contradiction.

Le point délicat. L'étape $q\ge 2$ est nécessaire : pour $q=1$, on n'aurait que « strictement positif et au plus $1$ », et la valeur $1$ resterait possible.

c) Quatorze termes. $12!\times 12=5748019200<10^{10}<13!\times 13=80951270400$ : la borne du a) passe sous $10^{-10}$ pour $n=13$, et $R_{12}>\frac{1}{13!}\approx 1,6\times 10^{-10}$ : il faut exactement quatorze termes, $k=0,\dots ,13$. Pour $\sum \frac{1}{k^2}$, au contraire, $\frac{1}{k^2}\ge \frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}$ donne, par télescopage, un reste d'ordre $N$ au moins égal à $\frac{1}{N+1}$ : dix milliards de termes. La factorielle décroît plus vite que toute géométrique, $\frac{1}{k^2}$ seulement comme une puissance.

d) $e^2$ est irrationnel. Le reste de $e^{-1}$. La série $\sum \frac{(-1{)}^k}{k!}$ est absolument convergente, de somme $e^{-1}$ ; donc $r_n={\sum }_{k\ge n+1}(-1{)}^k\frac{n!}{k!}$. Posons $k=n+1+j$ et factorisons $\frac{n!}{(n+1)!}=\frac{1}{n+1}$ : $r_n=\frac{(-1{)}^{n+1}}{n+1}{\beta }_n$, où ${\beta }_n={\sum }_{j\ge 0}(-1{)}^j{c}_j$, avec $c_0=1$ et $c_j=\frac{(n+1)!}{(n+1+j)!}=\frac{1}{(n+2)(n+3)\cdots (n+1+j)}$. Chacun des $j$ facteurs vaut au moins $n+2$, donc $0<c_j\le \frac{1}{(n+2{)}^j}$ et, par l'inégalité triangulaire, $$|{\beta }_n-1|=|\sum _{j=1}^{+\infty }(-1{)}^j{c}_j|\le \sum _{j=1}^{+\infty }\frac{1}{(n+2{)}^j}=\frac{1}{n+1}.$$ Ainsi $\frac{n}{n+1}\le {\beta }_n\le \frac{n+2}{n+1}$ : ${\beta }_n>0$, donc $r_n$ a le signe de $(-1{)}^{n+1}$ — négatif pour $n$ pair —, et $|r_n|=\frac{{\beta }_n}{n+1}\le \frac{n+2}{(n+1{)}^2}$. Le même calcul sans les signes donne, pour $s_n=n!R_n$, l'encadrement $0<s_n\le \frac{n+2}{(n+1{)}^2}$.

L'absurde. Si $e^2=\frac{p}{q}$, alors $qe=p{e}^{-1}$, puis $qn!e=pn!e^{-1}$. Écrivons $n!e=A_n+s_n$ et $n!e^{-1}=B_n+r_n$, où $A_n={\sum }_{k=0}^n\frac{n!}{k!}$ et $B_n={\sum }_{k=0}^n(-1{)}^k\frac{n!}{k!}$ sont des entiers. L'égalité devient $$m_n=p{r}_n-q{s}_n=q{A}_n-p{B}_n\in \mathbb{Z}.$$ Pour $n$ pair, $r_n<0$ et $s_n>0$, donc $m_n<0$ ; et $|m_n|\le (p+q)\frac{n+2}{(n+1{)}^2}$, qui tend vers $0$. Pour $n$ pair assez grand, $m_n$ est un entier strictement compris entre $-1$ et $0$ : contradiction. $e^2$ est irrationnel.

Le point délicat. Pour $n$ pair, $s_n$ et $r_n$ sont de signes contraires : $p{r}_n$ et $-q{s}_n$ ont le même signe et ne peuvent pas se compenser ; pour $n$ impair, $m_n$ pourrait être nul. Ce signe vient de la seule majoration $|{\beta }_n-1|<1$. Et le résultat ne découle pas du b) — le carré d'un irrationnel peut être rationnel — : il dit que $e$ n'est la racine carrée d'aucun rationnel. Contrôle : $r_{10}\approx -0,0839$, bien négatif, pour une borne $\frac{12}{121}\approx 0,0992$.

Ce que l'exercice installe. La vitesse de convergence peut être un argument arithmétique : un reste dominé par une géométrique est trop petit pour laisser place à un entier — la forme de toutes les preuves d'irrationalité. La majoration géométrique donne aussi le signe du reste, qui fait la preuve pour $e^2$.