Les séries de Bertrand

La stratégie : trois cas selon $\alpha$. Loin de la frontière de Riemann, une comparaison suffit ; sur la frontière $\alpha =1$, seule l'intégrale décide.

Posons $u_n=\frac{1}{n^{\alpha }(\ln n{)}^{\beta }}$ pour $n\ge 2$ : la série est à termes positifs, tous les outils du cours sont disponibles.

Cas 1 : $\alpha >1$. La série converge. Choisissons un réel $\gamma$ tel que $1<\gamma <\alpha$. Alors

$$n^{\gamma }{u}_n=\frac{1}{n^{\alpha -\gamma }(\ln n{)}^{\beta }}⟶0,$$

car $\alpha -\gamma >0$ et, par croissances comparées, toute puissance du logarithme — positive ou négative — est dominée par $n^{\alpha -\gamma }$. Donc $u_n=O(n^{-\gamma })$ avec $\gamma >1$ : la comparaison à Riemann donne la convergence.

⚠️ Point délicat : on ne peut pas prendre $\gamma =\alpha$. Le quotient $n^{\alpha }{u}_n=(\ln n{)}^{-\beta }$ ne tend pas vers $0$ si $\beta \le 0$. C'est le choix d'un exposant strictement intermédiaire qui sauve l'argument, et il n'existe que parce que $\alpha >1$.

Cas 2 : $\alpha <1$. La série diverge. Cette fois

$$n{u}_n=\frac{n^{1-\alpha }}{(\ln n{)}^{\beta }}⟶+\infty ,$$

toujours par croissances comparées, puisque $1-\alpha >0$. Il existe donc un rang à partir duquel $n{u}_n\ge 1$, c'est-à-dire $u_n\ge \frac{1}{n}$. La série harmonique diverge : par comparaison, $\sum u_n$ diverge.

Cas 3 : $\alpha =1$. C'est le logarithme qui tranche.

Si $\beta \le 0$, alors $u_n=\frac{(\ln n{)}^{|\beta |}}{n}\ge \frac{1}{n}$ dès que $n\ge 3$ : divergence par comparaison.

Si $\beta >0$, la fonction $t\mapsto \frac{1}{t(\ln t{)}^{\beta }}$ est positive et décroissante sur $[2,+\infty [$ (son dénominateur est un produit de fonctions positives croissantes), et l'on applique la comparaison série-intégrale. Les primitives sont connues :

• si $\beta \ne 1$, une primitive est $\frac{(\ln t{)}^{1-\beta }}{1-\beta }$ ;
• si $\beta =1$, une primitive est $\ln (\ln t)$.

Alors :

• $\beta >1$ : ${\int }_2^X\frac{\mathrm{d}t}{t(\ln t{)}^{\beta }}=\frac{(\ln 2{)}^{1-\beta }-(\ln X{)}^{1-\beta }}{\beta -1}$ reste majorée quand $X\to +\infty$, puisque $1-\beta <0$. Les sommes partielles, majorées par cette intégrale plus le premier terme, sont bornées : la série converge.
• $\beta =1$ : l'intégrale vaut $\ln \ln X-\ln \ln 2\to +\infty$, et minore les sommes partielles : divergence.
• $0<\beta <1$ : l'intégrale vaut $\frac{(\ln X{)}^{1-\beta }-(\ln 2{)}^{1-\beta }}{1-\beta }\to +\infty$ puisque $1-\beta >0$ : divergence.

Conclusion. La série converge si et seulement si $\alpha >1$, ou bien $\alpha =1$ et $\beta >1$.

⚠️ Pourquoi Riemann ne pouvait pas suffire sur la frontière. Pour $\alpha =1$ et $\beta >0$, on a $n{u}_n\to 0$ mais $n^{\gamma }{u}_n\to +\infty$ pour tout $\gamma >1$ : la série est coincée strictement entre deux séries de Riemann, l'une divergente, l'autre convergente. L'échelle des puissances est trop grossière ; il faut l'intégrale pour voir le logarithme.

Contrôle numérique. Sur la frontière $\alpha =1$, comparons les deux cas critiques en sommant jusqu'à $10^5$ puis $10^6$ :

série	somme jusqu'à $10^5$	somme jusqu'à $10^6$	accroissement
$\beta =1$	$3,238$	$3,420$	$+0,182$
$\beta =2$	$2,023$	$2,037$	$+0,014$

Pour $\beta =1$, chaque décade ajoute la même quantité, environ $0,18$ — soit $\ln \ln 10^6-\ln \ln 10^5$ : la croissance ne s'arrêtera jamais. Pour $\beta =2$, l'accroissement est déjà quinze fois plus petit et décroît : la somme se stabilise.

Ce que l'exercice installe. Après l'échelle des puissances, l'échelle des logarithmes. Entre « converge » et « diverge », la frontière n'est pas une ligne mais une infinité de niveaux, que l'on peut raffiner indéfiniment — et la comparaison série-intégrale est l'instrument qui les sépare.