Une divergence, par deux chemins

La stratégie : le même résultat par deux voies indépendantes — l'une exacte, l'autre asymptotique.

a) Par télescopage. La propriété fondamentale du logarithme transforme le terme général en une différence :

$$\ln \left(1+\frac{1}{n}\right)=\ln \frac{n+1}{n}=\ln (n+1)-\ln n.$$

La série est donc télescopique, et sa somme partielle se calcule exactement :

$$S_N=\sum _{n=1}^N(\ln (n+1)-\ln n)=\ln (N+1)-\ln 1=\ln (N+1).$$

Or $\ln (N+1)\to +\infty$ : la suite des sommes partielles diverge, donc la série diverge.

b) Par un équivalent. Le terme général est positif, et le développement limité $\ln (1+x)=x+o(x)$ au voisinage de $0$ donne, en posant $x=\frac{1}{n}\to 0$ :

$$\ln \left(1+\frac{1}{n}\right)\sim \frac{1}{n}.$$

⚠️ Le théorème d'équivalence exige des séries de signe constant — ici les termes sont positifs, l'hypothèse est vérifiée, et l'on peut conclure : $\sum \ln (1+\frac{1}{n})$ et la série harmonique $\sum \frac{1}{n}$ sont de même nature. La série harmonique diverge (cours), donc celle-ci aussi.

⚠️ Sans l'hypothèse de signe constant, ce théorème est faux : deux séries de termes équivalents mais de signes oscillants peuvent être de natures différentes. C'est la raison pour laquelle on vérifie toujours la positivité avant d'invoquer un équivalent.

Ce que les deux voies apprennent l'une sur l'autre. La première donne la valeur exacte, $S_N=\ln (N+1)$ ; la seconde ne donne que la nature, mais s'appliquerait encore si le terme n'était pas une différence. Ensemble, elles montrent que ${\sum }_{n=1}^N\ln (1+\frac{1}{n})=\ln (N+1)$ tandis que $H_N={\sum }_{n=1}^N\frac{1}{n}$ vaut environ $\ln N+0,577$ : deux séries de même nature, dont les sommes partielles diffèrent pourtant d'une constante, et non d'un $o(1)$ mutuel trivial.

Contrôle numérique. Pour $N=1000$ : $S_{1000}=\ln 1001\approx 6,909$, tandis que $H_{1000}\approx 7,485$. Les deux croissent, lentement et de concert, et leur rapport tend vers $1$.

Ce que l'exercice installe. Un télescopage donne tout, quand il est possible ; un équivalent donne la nature, toujours. Le premier réflexe devant $\ln (1+u_n)$ est de chercher si le logarithme d'un quotient se casse en différence.