mathématiques (PTSI) · Chapitre 18 · Exercice de TD

L'équation de transport, résolue par un changement de variables

Fonctions de deux variables · C. Règle de la chaîne · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Soit $c \in R$ . On considère l'équation aux dérivées partielles, d'inconnue $u$ de classe $C^{1}$ sur $R^{2}$ , $\frac{\partial u}{\partial t} (x, t) + c \frac{\partial u}{\partial x} (x, t) = 0 pour tout (x, t) \in R^{2} .$

a) Soit $g$ de classe $C^{1}$ sur $R$ . Montrer que $u (x, t) = g (x - c t)$ est solution. Interpréter.

b) Réciproquement, soit $u$ une solution. On pose $v (a, b) = u (a + c b, b)$ . Calculer $\frac{\partial v}{\partial b}$ ; en déduire $v (a, b) = v (a, 0)$ pour tous $a, b$ , puis qu'il existe $g$ de classe $C^{1}$ sur $R$ telle que $u (x, t) = g (x - c t)$ .

c) Interpréter : la valeur de $u$ en $(x, t)$ est sa valeur en $(x - c t, 0)$ . Que dire du problème « trouver $u$ solution telle que $u (x, 0) = u_{0} (x)$ », où $u_{0}$ est une fonction $C^{1}$ donnée ?

Corrigé de la question 1

La stratégie. Le a) est une vérification par la règle de la chaîne. Le b) est le cœur : un changement de variables transforme l'équation en « une dérivée partielle est nulle », qu'on intègre en une ligne. La composée à deux variables, $(u, v) \mapsto f (φ (u, v), ψ (u, v))$ , est l'outil du programme.

a) Les ondes progressives sont solutions. Posons $s (x, t) = x - c t$ , de sorte que $u = g \circ s$ ; $s$ est de classe $C^{1}$ avec $\frac{\partial s}{\partial x} = 1$ et $\frac{\partial s}{\partial t} = - c$ . La dérivation d'une composée, appliquée à chaque fonction partielle, donne $\frac{\partial u}{\partial x} (x, t) = g^{'} (x - c t) \cdot 1, \frac{\partial u}{\partial t} (x, t) = g^{'} (x - c t) \cdot (- c),$ et ces deux dérivées partielles sont continues : $u$ est de classe $C^{1}$ . Puis $\frac{\partial u}{\partial t} + c \frac{\partial u}{\partial x} = - c g^{'} (x - c t) + c g^{'} (x - c t) = 0.$ Interprétation. À l'instant $t$ , le graphe de $x \mapsto u (x, t)$ est le graphe de $g$ translaté de $c t$ : le profil se déplace à la vitesse $c$ sans se déformer — une onde progressive. Autrement dit, $u$ est constante le long des droites $x - c t = constante$ , appelées caractéristiques.

Le point délicat du a) : ne pas oublier de dériver l'argument. L'erreur classique est d'écrire $\frac{\partial u}{\partial t} = g^{'} (x - c t)$ : c'est le facteur $\frac{\partial s}{\partial t} = - c$ qui manque, et c'est lui qui produit la compensation.

Question 2 : comment l'IA t'aide

Élève

J'ai calculé $\frac{\partial v}{\partial b} (a, b) = c \frac{\partial u}{\partial x} (a + c b, b) + \frac{\partial u}{\partial t} (a + c b, b)$ . Mais l'équation est écrite en $(x, t)$ , pas en $(a, b)$ : ai-je le droit de dire que cette expression est nulle ?

L'équation est vraie en tout point de $R^{2}$ . En quel point les dérivées partielles de $u$ sont-elles évaluées dans ton expression, et que dit l'équation en ce point ?

Élève

Elles sont évaluées en $(a + c b, b)$ , où l'équation est vérifiée : $\frac{\partial v}{\partial b}$ est donc nulle partout. À $a$ fixé, $b \mapsto v (a, b)$ est constante sur l'intervalle $R$ .

Bien. Quelle fonction $g$ proposes-tu à partir de ce résultat, pourquoi est-elle de classe $C^{1}$ , et comment reviens-tu d'un couple $(a, b)$ à un point $(x, t)$ quelconque ?

L'IA ne donne pas la réponse : elle pose la question qui fait avancer. À toi de continuer.

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Reprends la question 2 là où le dialogue s'arrête, puis la suite de l'exercice.

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