La plus forte pente

Application directe du cours · niveau 1 (application) · mathématiques (PTSI), chapitre 18 — Fonctions de deux variables · B. Dérivées partielles, plan tangent, gradient

Énoncé

La température d'une plaque est $T (x, y) = 20 - x^{2} - 2 y^{2}$ . Au point $(1, 1)$ , dans quelle direction la température croît-elle le plus vite ? Quel est le taux de croissance correspondant ?

Corrigé

$\nabla T = (- 2 x, - 4 y)$ , donc $\nabla T (1, 1) = (- 2, - 4)$ : la croissance maximale a lieu dans la direction du gradient,

$u = \frac{\nabla T ( 1 , 1 )}{∥\nabla T ( 1 , 1 ) ∥} = \frac{1}{20} (- 2, - 4) = \frac{1}{5} (- 1, - 2),$

avec un taux $∥\nabla T (1, 1) ∥ = 25 \approx 4, 47$ degrés par unité de distance. Attention : cette direction ne pointe pas vers l'origine, bien que l'origine soit le sommet de la « colline » thermique — l'angle entre les deux vaut $arccos (3/ 10) \approx 18, 4^{\circ}$ . Le gradient donne la plus forte pente locale ; il ne vise le sommet que lorsque les lignes de niveau sont des cercles, alors qu'ici ce sont des ellipses. À l'opposé, $- u$ est la direction de refroidissement le plus rapide.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.