La pointe du cône

La stratégie : la continuité se lit directement sur la définition, et la non-dérivabilité vient d'un taux d'accroissement à deux limites.

a) Continuité. La fonction $f$ n'est autre que la norme euclidienne : $f(m)=\Vert m\Vert$.

À l'origine, la vérification est immédiate et ne demande aucun calcul : $\left|f(m)-f(0,0)\right|=\Vert m\Vert =\Vert m-(0,0)\Vert$. La quantité dont on veut la limite est exactement celle qui tend vers zéro par hypothèse. Donc $f$ est continue en $(0,0)$.

En un point $a=(x_0,y_0)$ quelconque, on part de $\Vert m-a\Vert \to 0$. Comme $\Vert m-a\Vert =\sqrt{(x-x_0{)}^2+(y-y_0{)}^2}$ majore chacun de ses deux termes, on a $|x-x_0|\le \Vert m-a\Vert$ et $|y-y_0|\le \Vert m-a\Vert$ : les deux coordonnées convergent séparément, donc $x^2+y^2\to x_0^2+y_0^2$. La fonction racine carrée étant continue sur $[0,+\infty [$, on conclut $f(m)\to f(a)$. La fonction est continue sur ${\mathbb{R}}^2$ tout entier.

b) Absence de dérivées partielles à l'origine. La fonction partielle en $x$ est

$$x⟼f(x,0)=\sqrt{x^2}=|x|.$$

Son taux d'accroissement en $0$ vaut $\frac{|h|-0}{h}=\frac{|h|}{h}$, qui vaut $+1$ pour $h>0$ et $-1$ pour $h<0$ : il n'a pas de limite. ⚠️ Les deux limites existent, mais elles diffèrent — c'est le point anguleux de la valeur absolue, transplanté en dimension deux. Donc $\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)$ n'existe pas, et par symétrie $\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)$ non plus.

c) Ce qui se passe ailleurs. Hors de l'origine, $f$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$, de gradient

$$\nabla f(x,y)=\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}(x,y),$$

vecteur unitaire dirigé radialement : le cône a partout la même pente $1$, mais la direction de plus forte montée saute d'une direction à l'autre selon le point. Ce gradient n'a donc aucune limite à l'origine, et la surface n'y admet pas de plan tangent : la pointe du cône est un vrai sommet.

d) Le rapprochement. Les deux exemples sont exactement complémentaires :

fonction	dérivées partielles en $(0,0)$	continue en $(0,0)$
$\frac{xy}{x^2+y^2}$	oui, toutes deux nulles	non
$\sqrt{x^2+y^2}$	non	oui

⚠️ Aucune des deux implications ne tient. Voilà pourquoi le cours ne se contente ni de l'une ni de l'autre et exige la classe ${\mathcal{C}}^1$ : dérivées partielles existantes et continues. C'est cette hypothèse, et elle seule, qui donne le développement limité d'ordre $1$, donc le plan tangent.

Contrôle numérique. Le taux d'accroissement de $|x|$ en $0$ : pour $h=10^{-3}$ il vaut $+1$, pour $h=-10^{-3}$ il vaut $-1$. Deux valeurs constantes et opposées, aussi près de $0$ qu'on veut : il n'y a rien à espérer d'une limite. Et $\Vert \nabla f\Vert =1$ en tout point non nul, sans exception.

Ce que l'exercice installe. La différentiabilité, c'est l'existence d'un plan tangent. Une pointe l'interdit, quelle que soit la régularité ailleurs — et c'est un phénomène purement local, invisible sur toute autre partie de la surface.