Le gradient d'un logarithme

Stratégie : un seul calcul de gradient, puis trois lectures géométriques du même vecteur — sa direction, son orthogonalité aux niveaux, sa norme.

Le domaine. La fonction $\ln$ n'accepte que des arguments strictement positifs : $f$ est définie exactement là où $x^2+y^2>0$, c'est-à-dire sur le plan privé de l'origine. ⚠️ Cette partie est un ouvert, et c'est ce qui autorise tout le calcul différentiel qui suit : autour de chaque point de ${\mathbb{R}}^2\setminus \{(0,0)\}$, on peut tracer un petit disque qui évite encore l'origine.

a) Le gradient. On dérive en figeant l'autre variable, comme une composée à une variable :

$$\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{2x}{x^2+y^2},\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{2y}{x^2+y^2},$$

soit, en notant $m=(x,y)$ et $\Vert m\Vert =\sqrt{x^2+y^2}$ :

$$\nabla f(m)=\frac{2}{\Vert m{\Vert }^2}(x,y)=\frac{2}{\Vert m{\Vert }^2}m.$$

Le gradient est donc un multiple positif du vecteur position : il est radial, et il pointe vers l'extérieur, en s'éloignant de l'origine.

b) Les lignes de niveau. L'égalité $f(x,y)=c$ équivaut à $x^2+y^2=e^c$, c'est-à-dire à $\Vert m\Vert =e^{c/2}$ : la ligne de niveau $c$ est le cercle de centre l'origine et de rayon $e^{c/2}$. Tout réel $c$ est atteint, et chaque cercle porte un seul niveau.

⚠️ Ces cercles ne sont pas régulièrement espacés, et c'est le logarithme qui le veut. Passer du niveau $c$ au niveau $c+2\ln 2$, soit une montée d'environ $1,386$, exige de doubler le rayon. Les niveaux se serrent donc près de l'origine et s'écartent au loin : la surface est un entonnoir, abrupt au centre et de plus en plus plat à mesure qu'on s'éloigne.

L'orthogonalité se vérifie sur le cercle de rayon $R$, paramétré par $\gamma (\theta )=(R\cos \theta ,R\sin \theta )$, de vecteur vitesse ${\gamma }^{\prime }(\theta )=R(-\sin \theta ,\cos \theta )$. En ce point, $\Vert m\Vert =R$ et

$$\nabla f(\gamma (\theta ))=\frac{2}{R^2}(R\cos \theta ,R\sin \theta )=\frac{2}{R}(\cos \theta ,\sin \theta ),$$

d'où le produit scalaire

$$\nabla f(\gamma (\theta ))\cdot {\gamma }^{\prime }(\theta )=\frac{2}{R}\times R\times (-\cos \theta \sin \theta +\sin \theta \cos \theta )=0.$$

La seconde lecture, qui explique le zéro. La fonction $f\circ \gamma$ vaut $\ln \left(R^2\right)$, une constante ; sa dérivée est donc nulle, et la règle de la chaîne dit que cette dérivée est précisément $\nabla f(\gamma )\cdot {\gamma }^{\prime }$. Le calcul confirme le théorème du cours, il ne le remplace pas.

c) La plus forte pente. La norme du gradient se calcule en une ligne :

$$\Vert \nabla f(m)\Vert =\frac{2}{\Vert m{\Vert }^2}\times \Vert m\Vert =\frac{2}{r},r=\Vert m\Vert .$$

Pour une direction unitaire $u$, la dérivée de $f$ selon $u$ vaut $\nabla f(m)\cdot u$. La définition géométrique du produit scalaire donne

$$\nabla f(m)\cdot u=\Vert \nabla f(m)\Vert \times \Vert u\Vert \times \cos \theta =\frac{2}{r}\cos \theta \le \frac{2}{r},$$

où $\theta$ est l'angle entre $u$ et le gradient. ⚠️ C'est le facteur $\cos \theta$, et lui seul, qui répond à la question : il vaut au plus $1$, et il vaut exactement $1$ lorsque $\theta =0$, c'est-à-dire lorsque $u$ pointe dans la direction du gradient. La plus forte pente vaut donc $\frac{2}{r}$, et elle est atteinte dans la direction radiale sortante ; à l'opposé, dans la direction rentrante, la pente vaut $-\frac{2}{r}$, et dans les deux directions tangentes au cercle elle est nulle.

Cette pente $\frac{2}{r}$ décroît quand on s'éloigne : la montée est infiniment raide au bord du trou central et s'aplatit à l'infini.

Contrôle numérique. Plaçons-nous en $(3,4)$, à la distance $r=5$ de l'origine, où $f=\ln 25\approx 3,2189$. Le gradient vaut $\left(\frac{6}{25},\frac{8}{25}\right)=(0,24;0,32)$, de norme $\frac{2}{5}=0,4$, ce qui est bien $\frac{2}{r}$. Avançons de $0,01$ dans la direction radiale $u=(0,6;0,8)$ : la fonction augmente de $0,003996$, à comparer à la prévision $0,4\times 0,01=0,004$. Avançons de $0,01$ dans la direction tangente $(-0,8;0,6)$ : elle n'augmente que de $0,0000040$, soit quatre millionièmes — nul au premier ordre, comme annoncé.

Ce que l'exercice installe. Une équivalence qu'on retrouvera énoncée en toute généralité : le gradient est radial si et seulement si la fonction ne dépend que de la distance à l'origine. Et un objet de physique : $\ln \left(x^2+y^2\right)$ est le potentiel logarithmique du plan, celui d'un fil chargé, dont le champ décroît en $\frac{1}{r}$ — les lignes de niveau sont les équipotentielles, et le gradient, orthogonal, donne les lignes de champ.