Optimisation concrète

La stratégie : réduire à deux variables par la contrainte, trouver le point critique, puis prouver la globalité par une inégalité — pas par un argument « au bord », qui demanderait un théorème d'existence hors programme.

La mise en équation. Dimensions $x,y$ (base) et $h$ (hauteur), en décimètres, avec $xyh=32$, donc $h=\frac{32}{xy}$. La surface (fond et quatre faces) : $$S(x,y)=xy+2xh+2yh=xy+\frac{64}{y}+\frac{64}{x}(x,y>0:\text{un ouvert}).$$

Le point critique. $$\frac{\partial S}{\partial x}=y-\frac{64}{x^2}=0,\frac{\partial S}{\partial y}=x-\frac{64}{y^2}=0⟹y=\frac{64}{x^2},x=\frac{64}{y^2}=\frac{x^4}{64}⟹x^3=64:$$ $x=4$, puis $y=4$ et $h=\frac{32}{16}=2$, avec $S(4,4)=16+16+16=48$ dm². C'est le seul candidat — mais un point critique n'est pas un minimum, et « $S\to +\infty$ au bord » ne suffit pas sans un théorème d'existence qui n'est pas au programme.

La globalité, par $\ln u\le u-1$. Posons $A=xy$, $B=\frac{64}{x}$, $C=\frac{64}{y}$ : trois nombres strictement positifs, de produit $ABC=64^2=16^3$. Appliquons $\ln u\le u-1$ (égalité si et seulement si $u=1$) à $\frac{A}{16}$, $\frac{B}{16}$ et $\frac{C}{16}$, et ajoutons : $$\ln \frac{ABC}{16^3}\le \frac{A+B+C}{16}-3,\text{soit}0\le \frac{S(x,y)}{16}-3.$$ Donc $S(x,y)\ge 48$ pour tous $x,y>0$, avec égalité si et seulement si $A=B=C=16$, c'est-à-dire $x=y=4$. Le minimum global est $48$ dm², pour la boîte $4\times 4\times 2$ — base carrée, hauteur moitié du côté.

Ce que l'exercice installe. Tout problème d'optimisation à contrainte simple se ramène à deux variables et à un point critique ; la globalité se prouve par une inégalité — la même que pour le maximum de $xy(1-x-y)$ sur le triangle —, jamais par un simple regard au bord.