Un col

La stratégie : le gradient donne les candidats, puis on décide de la nature de chacun à la main — une droite pour réfuter, une minoration élémentaire pour établir.

Les points critiques. $$\nabla f=\left(3x^2-3y,3y^2-3x\right)=(0,0)⟺y=x^2\text{ et }x=y^2.$$ En substituant, $x=x^4$, soit $x(x^3-1)=0$, donc $x\in \{0,1\}$, puis $y=x^2$ : deux points critiques, $(0,0)$ et $(1,1)$, avec $f(0,0)=0$ et $f(1,1)=-1$.

En $(0,0)$ : un col. Le long de l'axe des abscisses, $f(x,0)=x^3$ change de signe en $0$ : aussi près de l'origine qu'on veut, $f$ prend des valeurs des deux signes, alors que $f(0,0)=0$. Ni minimum ni maximum local : point selle.

En $(1,1)$ : un minimum local, prouvé par une minoration. Posons $x=1+h$, $y=1+k$ et développons : $$f(1+h,1+k)+1=3h^2+3k^2-3hk+h^3+k^3.$$ La partie de degré $2$. Comme $2|hk|\le h^2+k^2$ (développer $(|h|-|k|{)}^2\ge 0$), on a $3h^2+3k^2-3hk\ge \frac{3}{2}(h^2+k^2)$. La partie de degré $3$. Si $|h|\le \delta$ et $|k|\le \delta$, alors $|h^3+k^3|\le |h|h^2+|k|k^2\le \delta (h^2+k^2)$. Donc, pour $|h|,|k|\le 1$ : $$f(1+h,1+k)+1\ge (\frac{3}{2}-1)(h^2+k^2)=\frac{1}{2}(h^2+k^2)>0\text{si }(h,k)\ne (0,0).$$ Sur tout le carré $[0,2{]}^2$, $f>-1$ sauf en $(1,1)$ : minimum local strict, de valeur $-1$. Il n'est pas global : $f(x,0)=x^3\to -\infty$ quand $x\to -\infty$.

Ce que l'exercice installe. Le gradient désigne, une inégalité décide : on n'a invoqué aucun critère du second ordre — hors programme — mais une minoration explicite, valable sur un voisinage chiffré.