Décomposition d'une transformation

Écrivons $1+i=\sqrt{2}{e}^{i\pi /4}$. L'application $z\mapsto (1+i)z$ est donc la composée de la rotation de centre $O$ et d'angle $\frac{\pi }{4}$ et de l'homothétie de centre $O$ et de rapport $\sqrt{2}$ ; et $f$ s'obtient en la faisant suivre de la translation de vecteur d'affixe $-i$.

Suivons le cercle $\mathcal{C}$ de centre $O$ et de rayon $1$ à travers cette décomposition. La rotation de centre $O$ laisse $\mathcal{C}$ invariant ; l'homothétie de centre $O$ et de rapport $\sqrt{2}$ l'envoie sur le cercle de centre $O$ et de rayon $\sqrt{2}$ ; enfin la translation de vecteur d'affixe $-i$ envoie ce dernier sur le cercle de centre le point d'affixe $-i$ et de rayon $\sqrt{2}$. L'image est donc l'ensemble $\{z\in \mathbb{C}:|z+i|=\sqrt{2}\}$.

Contrôle : $|z|=1\Rightarrow |f(z)+i|=|(1+i)z|=\sqrt{2}|z|=\sqrt{2}$. ✔