L'exponentielle d'un complexe : amplitude et rotation

Ce qu'on a le droit d'utiliser. La définition de $e^z$, son module et ses arguments, l'exponentielle d'une somme, la périodicité — $e^z=e^{z^{\prime }}$ si et seulement si $z-z^{\prime }\in 2i\pi \mathbb{Z}$ —, et l'interprétation géométrique de $z\mapsto az$.

a) Module, argument, trajectoire. Pour $t$ réel, $rt=-\alpha t+i\omega t$, de partie réelle $-\alpha t$ et de partie imaginaire $\omega t$. Donc $e^{rt}=e^{-\alpha t}{e}^{i\omega t}$ : son module est $e^{-\alpha t}$, et $\omega t$ en est un argument. Par exemple, pour $r=1+i$ (soit $\alpha =-1$, $\omega =1$), $e^{(1+i)t}$ a pour module $e^t$ et pour argument $t$ ; et $e^{2+i\pi /3}$ a pour module $e^2$ et pour argument $\frac{\pi }{3}$. Plus généralement, $|e^z|=1$ si et seulement si $\mathrm{Re}(z)=0$.

La trajectoire, pour $\omega \ne 0$. L'argument $\omega t$ varie linéairement : le point tourne autour de l'origine à vitesse angulaire constante $|\omega |$, dans le sens trigonométrique si $\omega >0$, à la distance $e^{-\alpha t}$ de l'origine. Si $\alpha =0$, il parcourt le cercle unité, périodiquement ; si $\alpha >0$, il décrit une spirale qui s'enroule vers l'origine quand $t\to +\infty$ ; si $\alpha <0$, la spirale s'en éloigne.

Le passage de $t$ à $t+\tau$. Par l'exponentielle d'une somme, $e^{r(t+\tau )}=e^{r\tau }{e}^{rt}$. Multiplier par le complexe fixé $e^{r\tau }=e^{-\alpha \tau }{e}^{i\omega \tau }$, c'est appliquer la rotation de centre $O$ et d'angle $\omega \tau$, composée avec l'homothétie de centre $O$ et de rapport $e^{-\alpha \tau }$. Avancer le temps de $\tau$ revient toujours à la même transformation du plan, qui envoie la spirale sur elle-même.

b) Bornée, et tendant vers zéro. Tout se lit sur le module $\left|e^{rt}\right|=e^{-\alpha t}$. Si $\alpha \ge 0$, il est majoré par $1$ pour $t\ge 0$ : la fonction est bornée. Si $\alpha <0$, il vaut $e^{|\alpha |t}$, qui tend vers $+\infty$ : la fonction n'est pas bornée. Et $e^{rt}$ tend vers $0$ si et seulement si son module tend vers $0$, c'est-à-dire si et seulement si $\alpha >0$ — pour $\alpha =0$ il reste égal à $1$.

c) La périodicité. Condition nécessaire. Si $e^{r(t+T)}=e^{rt}$ pour tout $t$, alors en $t=0$ : $e^{rT}=1=e^0$, et le théorème de périodicité donne $rT-0\in 2i\pi \mathbb{Z}$. Condition suffisante. Si $rT=2ik\pi$ avec $k\in \mathbb{Z}$, alors pour tout $t$, $e^{r(t+T)}=e^{rt}{e}^{2ik\pi }=e^{rt}$.

Comme $rT=-\alpha T+i\omega T$, la condition s'écrit $\alpha =0$ et $\omega T\in 2\pi \mathbb{Z}$ : une exponentielle $e^{rt}$ non constante n'est périodique que si $r$ est imaginaire pur, et ses périodes sont alors les multiples entiers strictement positifs de $\frac{2\pi }{|\omega |}$.

Le point délicat. Dans le c), la $T$-périodicité n'est utilisée qu'en un seul point, $t=0$ : c'est suffisant, parce que l'exponentielle d'une somme transporte ensuite l'information à tous les instants.

d) Le signal amorti. Avec $C=A{e}^{i\phi }$ : $$C{e}^{rt}=A{e}^{i\phi }{e}^{-\alpha t}{e}^{i\omega t}=A{e}^{-\alpha t}{e}^{i(\omega t+\phi )},$$ et, en prenant la partie réelle, $x(t)=A{e}^{-\alpha t}\cos (\omega t+\phi )$. Une pseudo-période plus tard. Le cosinus est $2\pi$-périodique, donc $\cos \left(\omega \left(t+\frac{2\pi }{\omega }\right)+\phi \right)=\cos (\omega t+\phi )$, et $$x\left(t+\frac{2\pi }{\omega }\right)=A{e}^{-\alpha t}{e}^{-2\pi \alpha /\omega }\cos (\omega t+\phi )=e^{-2\pi \alpha /\omega }x(t).$$ Les zéros. Comme $A{e}^{-\alpha t}>0$, $x(t)=0$ équivaut à $\cos (\omega t+\phi )=0$, c'est-à-dire $\omega t+\phi =\frac{\pi }{2}+k\pi$ avec $k\in \mathbb{Z}$, soit $$t_k=\frac{1}{\omega }\left(\frac{\pi }{2}-\phi +k\pi \right)(k\in \mathbb{Z}),$$ et deux zéros consécutifs sont distants de $t_{k+1}-t_k=\frac{\pi }{\omega }$.

Contrôle numérique. Deux mille tirages de $(\alpha ,\omega ,A,\phi )$ vérifient les trois identités du d) à $10^{-9}$ près ; $e^{2+i\pi /3}$ a bien pour module $e^2\approx 7,389$ et pour argument $\frac{\pi }{3}\approx 1,047$.

Ce que l'exercice installe. La lecture séparée des deux parties de $r$ : la partie réelle règle l'amplitude — croissance, maintien ou amortissement —, la partie imaginaire règle la rotation. Avec les notations de l'exercice 5, les racines $-\alpha \pm i\omega$ du trinôme caractéristique de l'oscillateur amorti donnent, au chapitre suivant, les solutions $A{e}^{-\alpha t}\cos (\omega t+\phi )$ : c'est le régime pseudo-périodique, où le rapport de deux valeurs séparées d'une pseudo-période est constant — c'est ce rapport que mesure le physicien pour déterminer l'amortissement. Et le b) est le critère de stabilité des programmes de physique et de sciences industrielles : les solutions restent bornées si et seulement si la partie réelle est négative ou nulle, et tendent vers zéro si et seulement si elle est strictement négative — un pôle à partie réelle strictement négative.