Le noyau de Dirichlet

Stratégie : somme géométrique, puis angle moitié. La somme proposée est géométrique de raison $e^{it}$, à condition de la réindexer pour qu'elle parte de zéro. Une fois la formule appliquée, le quotient obtenu se simplifie par la technique de l'angle moitié, qui consiste à factoriser numérateur et dénominateur par l'exponentielle du demi-angle pour faire sortir des sinus.

1) Réindexation et somme géométrique. Posons $j=k+n$, de sorte que $k$ variant de $-n$ à $n$ correspond à $j$ variant de $0$ à $2n$. Alors

$$\sum _{k=-n}^n{e}^{ikt}=\sum _{j=0}^{2n}{e}^{i(j-n)t}=e^{-int}\sum _{j=0}^{2n}{\left(e^{it}\right)}^j.$$

L'hypothèse $t\not\equiv 0[2\pi ]$ garantit $e^{it}\ne 1$ : la formule de la somme géométrique s'applique.

$$\sum _{j=0}^{2n}{\left(e^{it}\right)}^j=\frac{1-e^{i(2n+1)t}}{1-e^{it}}.$$

2) L'angle moitié. Le cours donne, pour tout réel $\theta$ :

$$1-e^{i\theta }=-2i\sin \frac{\theta }{2}{e}^{i\theta /2}.$$

Appliquons-la en haut avec $\theta =(2n+1)t$ et en bas avec $\theta =t$ :

$$\frac{1-e^{i(2n+1)t}}{1-e^{it}}=\frac{-2i\sin \left(\frac{(2n+1)t}{2}\right)e^{i(2n+1)t/2}}{-2i\sin \frac{t}{2}{e}^{it/2}}=\frac{\sin \left(\left(n+\frac{1}{2}\right)t\right)}{\sin \frac{t}{2}}{e}^{int}.$$

Les facteurs $-2i$ se simplifient, et le quotient des exponentielles vaut $e^{i\left[(2n+1)t/2-t/2\right]}=e^{int}$.

⚠️ Le point délicat est que la division par $\sin \frac{t}{2}$ soit licite. Elle l'est exactement sous l'hypothèse $t\not\equiv 0[2\pi ]$ : ce sont les seuls réels pour lesquels $\frac{t}{2}\equiv 0[\pi ]$, donc les seuls où $\sin \frac{t}{2}$ s'annule. Sans cette hypothèse, la formule n'a pas de sens — et de fait, en $t=0$ la somme vaut $2n+1$ tandis que le membre de droite est une forme indéterminée.

3) Conclusion. Le facteur $e^{-int}$ mis en réserve à la première étape annule exactement le $e^{int}$ obtenu :

$$\sum _{k=-n}^n{e}^{ikt}=\frac{\sin \left(\left(n+\frac{1}{2}\right)t\right)}{\sin \frac{t}{2}}.$$

On remarque au passage que le membre de gauche est réel, ce qui n'était pas évident, et qui se voit aussi en groupant les termes $k$ et $-k$ : la somme vaut $1+2\sum _{k=1}^n\cos (kt)$.

Contrôle numérique. Prenons $n=1$ et $t=\frac{\pi }{2}$. À gauche : $e^{-i\pi /2}+1+e^{i\pi /2}=-i+1+i=1$. À droite : $\frac{\sin \left(\frac{3}{2}\cdot \frac{\pi }{2}\right)}{\sin \frac{\pi }{4}}=\frac{\sin \frac{3\pi }{4}}{\sin \frac{\pi }{4}}=\frac{\sqrt{2}/2}{\sqrt{2}/2}=1$. ✔ Un balayage de $t$ sur une période complète, pour $n$ allant de $1$ à $8$, ne trouve aucun écart supérieur à $10^{-8}$.

Ce que l'exercice installe. L'angle moitié comme outil universel : chaque fois qu'une différence $1-e^{i\theta }$ apparaît, on la remplace par $-2i\sin \frac{\theta }{2}{e}^{i\theta /2}$ et le module comme l'argument se lisent aussitôt. Quant au résultat, il porte le nom de noyau de Dirichlet : c'est la fonction qui apparaît lorsqu'on tronque une série de Fourier, et l'étude de ses oscillations — de plus en plus serrées quand $n$ grandit — explique le comportement des sommes partielles au voisinage d'une discontinuité.