Les polynômes de Tchebychev

Ce qu'on a le droit d'utiliser. La formule de Moivre, la formule du binôme — valable dans $\mathbb{C}$ mot pour mot —, les formules d'addition, et ${\sin }^{2}t=1-{\cos }^{2}t$.

a) Par Moivre et le binôme. Développons la puissance par la formule du binôme : $$\cos (nt)+i\sin (nt)=(\cos t+i\sin t{)}^n=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}){\cos }^{n-k}t{i}^k{\sin }^{k}t.$$ Le nombre $i^k$ vaut $1,i,-1,-i$ selon le reste de $k$ modulo $4$ : il est réel quand $k$ est pair, imaginaire pur quand $k$ est impair. Les termes d'indice impair ne contribuent donc qu'à la partie imaginaire ; en identifiant les parties réelles, et en écrivant $k=2j$ avec $i^{2j}=(-1{)}^j$ : $$\cos (nt)=\sum _{j=0}^{\lfloor n/2\rfloor }(-1{)}^j(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2j}){\cos }^{n-2j}t{\sin }^{2j}t=\sum _{j=0}^{\lfloor n/2\rfloor }(-1{)}^j\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2j}\right){\cos }^{n-2j}t{\left(1-{\cos }^{2}t\right)}^j.$$ Posons donc $$T_n(x)=\sum _{j=0}^{\lfloor n/2\rfloor }(-1{)}^j(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2j})x^{n-2j}{\left(1-x^2\right)}^j.$$ C'est une fonction polynomiale ; ses coefficients sont entiers, car les coefficients binomiaux sont des entiers, et le développement de $(1-x^2{)}^j$ par le binôme, puis les produits et les sommes, n'engendrent que des entiers. Et par construction $\cos (nt)=T_n(\cos t)$ pour tout réel $t$.

Les premiers. Pour $n=2$ : $T_2(x)=x^2-(1-x^2)=2x^2-1$. Pour $n=3$ : le coefficient binomial « deux parmi trois » vaut $3$, et $T_3(x)=x^3-3x(1-x^2)=4x^3-3x$. Pour $n=4$ : « deux parmi quatre » vaut $6$ et « quatre parmi quatre » vaut $1$, d'où $$T_4(x)=x^4-6x^2(1-x^2)+(1-x^2{)}^2=8x^4-8x^2+1.$$

b) Par une récurrence à deux pas. Les formules d'addition donnent $\cos (nt+t)=\cos (nt)\cos t-\sin (nt)\sin t$ et $\cos (nt-t)=\cos (nt)\cos t+\sin (nt)\sin t$ ; en les ajoutant, les termes en sinus s'éliminent : $$\cos ((n+1)t)+\cos ((n-1)t)=2\cos t\cos (nt).$$ Notons ${\mathcal{P}}_n$ l'assertion « pour tout réel $t$, $\cos (nt)=T_n(\cos t)$ », où les $T_n$ sont cette fois définies par $T_0=1$, $T_1=x$ et $T_{n+1}=2x{T}_n-T_{n-1}$. On raisonne par récurrence double, puisque la relation fait intervenir deux rangs en arrière.

Initialisation. $\cos (0\cdot t)=1=T_0(\cos t)$ et $\cos t=T_1(\cos t)$ : ${\mathcal{P}}_0$ et ${\mathcal{P}}_1$ sont vraies.

Hérédité. Soit $n\ge 1$ tel que ${\mathcal{P}}_{n-1}$ et ${\mathcal{P}}_n$ soient vraies. Pour tout réel $t$ : $$\cos ((n+1)t)=2\cos t{T}_n(\cos t)-T_{n-1}(\cos t)=T_{n+1}(\cos t).$$ Donc ${\mathcal{P}}_{n+1}$ est vraie, et la propriété l'est pour tout $n$. Une récurrence immédiate montre aussi que $T_n$ est à coefficients entiers, de degré $n$ et de coefficient dominant $2^{n-1}$ pour $n\ge 1$ ; et l'on retrouve $T_3=2x(2x^2-1)-x=4x^3-3x$.

Les deux constructions donnent les mêmes fonctions : leur différence s'annule en tout point de $[-1,1]$, soit une infinité de points, ce qu'une fonction polynomiale non nulle ne peut faire — elle a au plus autant de racines que son degré, conséquence de la factorisation par $z-a$ vue dans ce chapitre, chaque racine faisant baisser le degré d'une unité.

c) Le sinus. Les mêmes formules d'addition, écrites pour le sinus, donnent $\sin (nt+t)+\sin (nt-t)=2\sin (nt)\cos t$. Posons $U_0=1$, $U_1=2x$ et $U_n=2x{U}_{n-1}-U_{n-2}$ pour $n\ge 2$, et montrons par récurrence double que $\sin ((n+1)t)=\sin t{U}_n(\cos t)$ pour tout $n\ge 0$ et tout réel $t$. Pour $n=0$, c'est $\sin t=\sin t$ ; pour $n=1$, c'est $\sin 2t=2\sin t\cos t$. Si c'est vrai aux rangs $n-2$ et $n-1$, alors $$\sin ((n+1)t)=2\cos t\sin (nt)-\sin ((n-1)t)=\sin t(2\cos t{U}_{n-1}(\cos t)-U_{n-2}(\cos t))=\sin t{U}_n(\cos t).$$ En décalant l'indice : $\sin (nt)=\sin t{U}_{n-1}(\cos t)$ pour $n\ge 1$. Par exemple $U_2=4x^2-1$, et $\sin 3t=\sin t(4{\cos }^{2}t-1)=3\sin t-4{\sin }^{3}t$.

La majoration. On raisonne par récurrence sur $n\ge 0$. Pour $n=0$, les deux membres sont nuls. Si $|\sin (nt)|\le n|\sin t|$, alors, par la formule d'addition et l'inégalité triangulaire, puisque $|\cos |\le 1$ : $$|\sin ((n+1)t)|=|\sin (nt)\cos t+\cos (nt)\sin t|\le |\sin (nt)|+|\sin t|\le (n+1)|\sin t|.$$

Le point délicat. Tout le a) repose sur un argument de parité : $i^k$ est réel exactement pour $k$ pair, donc seules les puissances paires du sinus apparaissent dans $\cos (nt)$ — et ce sont les seules qu'on sait réécrire avec le cosinus. Dans $\sin (nt)$ survivent au contraire les puissances impaires : on n'en extrait qu'un facteur $\sin t$, d'où la forme du c).

Contrôle numérique. $T_2\left(\frac{1}{2}\right)=-\frac{1}{2}=\cos \frac{2\pi }{3}$ et $T_4\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=2-4+1=-1=\cos \pi$. Un calcul symbolique confirme l'égalité des deux constructions jusqu'à $n=9$, et la majoration du c) tient sur vingt mille tirages.

Ce que l'exercice installe. Deux manières de fabriquer $\cos (nt)$ : développer (Moivre et binôme, exigibles au programme) ou récurrer (une relation à trois termes lue sur les formules d'addition). La seconde est la plus efficace, et on la retrouvera pour toutes les suites définies par une relation linéaire d'ordre deux. Ces polynômes portent le nom de Tchebychev ; sur $[-1,1]$, $|T_n|$ ne dépasse jamais $1$, et leurs oscillations régulières en font les meilleurs polynômes d'approximation.