Les solutions de $(z+1{)}^n=(z-1{)}^n$ sont imaginaires pures

Ce qu'on a le droit d'utiliser. ${\mathbb{U}}_n=\left\{{\omega }^k:0\le k\le n-1\right\}$ avec $\omega =e^{2i\pi /n}$, ces $n$ nombres étant distincts ; l'angle moitié ; $|z-z_0|$ est une distance.

La stratégie. Aucun des deux membres ne se développe utilement. Mais si l'on divise par $(z-1{)}^n$, l'équation dit qu'un certain quotient est une racine $n$-ième de l'unité : on résout donc en $w=\frac{z+1}{z-1}$, puis on revient à $z$.

Mise en place. Le nombre $z=1$ n'est pas solution : le membre de gauche vaut $2^n$, celui de droite $0$. Pour $z\ne 1$, on peut diviser par $(z-1{)}^n\ne 0$ : $$(z+1{)}^n=(z-1{)}^n⟺w^n=1,\text{ouˋ }w=\frac{z+1}{z-1}.$$

Le retour de $w$ à $z$. Pour $z\ne 1$, le nombre $w$ n'est jamais égal à $1$ : $w=1$ donnerait $z+1=z-1$. Et pour $w\ne 1$, l'égalité $w(z-1)=z+1$ équivaut à $z(w-1)=w+1$, c'est-à-dire à $z=\frac{w+1}{w-1}$. L'application $z\mapsto w$ est donc une bijection de $\mathbb{C}\setminus \{1\}$ sur lui-même, de réciproque $w\mapsto \frac{w+1}{w-1}$.

Première démonstration : les solutions explicites. L'équation équivaut à $w\in {\mathbb{U}}_n\setminus \{1\}$, c'est-à-dire $w={\omega }^k$ avec $k\in \{1,\dots ,n-1\}$ ; par la bijection précédente, les solutions sont les $n-1$ nombres deux à deux distincts $$z_k=\frac{{\omega }^k+1}{{\omega }^k-1},k\in \{1,\dots ,n-1\}.$$ Posons $\theta =\frac{2k\pi }{n}$. L'angle moitié donne $1+e^{i\theta }=2\cos \frac{\theta }{2}{e}^{i\theta /2}$ et $e^{i\theta }-1=2i\sin \frac{\theta }{2}{e}^{i\theta /2}$ ; les exponentielles se simplifient : $$z_k=\frac{2\cos \frac{\theta }{2}}{2i\sin \frac{\theta }{2}}=-i\frac{\cos \frac{k\pi }{n}}{\sin \frac{k\pi }{n}}.$$ Comme $1\le k\le n-1$, on a $0<\frac{k\pi }{n}<\pi$, donc $\sin \frac{k\pi }{n}\ne 0$ : le quotient est un réel bien défini, et $z_k$ est $-i$ fois un réel. Toutes les solutions sont imaginaires pures, et il y en a exactement $n-1$.

Seconde démonstration : géométrique. Soit $z$ une solution. En prenant les modules, $|z+1{|}^n=|z-1{|}^n$ ; ce sont deux réels positifs élevés à la même puissance, et $u\mapsto u^n$ est strictement croissante sur $[0,+\infty [$, donc $$|z+1|=|z-1|.$$ En notant $A$ et $B$ les points d'affixes $-1$ et $1$, et $M$ celui d'affixe $z$, cela s'écrit $MA=MB$ : le point $M$ est sur la médiatrice du segment $[AB]$, qui est l'axe imaginaire. Le calcul le confirme en une ligne : $|z+1{|}^2-|z-1{|}^2=(z+1)(\overline{z}+1)-(z-1)(\overline{z}-1)=2z+2\overline{z}=4\mathrm{Re}(z)$, qui est nul.

Le point délicat. Les deux démonstrations ne prouvent pas la même chose. La seconde dit que les solutions sont imaginaires pures, mais ne les donne pas : la condition $|z+1|=|z-1|$ est nécessaire, pas suffisante — elle ne retient que le module de $w$ et perd son argument. La première énumère les solutions et en déduit leur nature. C'est pourquoi un énoncé demande souvent deux preuves : l'une localise, l'autre dénombre.

Contrôle numérique. Pour $n=3$, les solutions sont $z_1=-\frac{i}{\sqrt{3}}$ et $z_2=\frac{i}{\sqrt{3}}$. La résolution numérique de l'équation polynomiale $(z+1{)}^n-(z-1{)}^n=0$, pour $n$ de $2$ à $11$, trouve chaque fois exactement $n-1$ racines, de partie réelle nulle à $10^{-9}$ près, égales aux valeurs annoncées. C'est cohérent : $(z+1{)}^n-(z-1{)}^n$ est de degré $n-1$, son terme dominant valant $2n{z}^{n-1}$.

Ce que l'exercice installe. Le réflexe de transformer une égalité de puissances $A^n=B^n$ en une appartenance à l'ensemble des racines $n$-ièmes de l'unité, après avoir vérifié qu'on peut diviser. Et la traduction géométrique « $|w|=1$ » : le module d'un quotient $\frac{z-b}{z-a}$ égal à un dit que $z$ est équidistant de $a$ et de $b$.