mathématiques (PTSI) · Chapitre 3 · Exercice de TD

Où sont les racines du trinôme caractéristique ?

Nombres complexes · E. Équations algébriques · niveau 2

Énoncé

Soient $ω_{0} > 0$ et $Q > 0$ . On considère $P (r) = r^{2} + \frac{ω _{0}}{Q} r + ω_{0}^{2}$ (on le rencontre en physique : c'est le trinôme caractéristique de l'oscillateur amorti de pulsation propre $ω_{0}$ et de facteur de qualité $Q$ ; en sciences industrielles, ses racines sont les pôles d'un système du second ordre).

a) Résoudre $P (r) = 0$ dans $C$ , en distinguant les cas $Q < \frac{1}{2}$ , $Q = \frac{1}{2}$ et $Q > \frac{1}{2}$ .

b) Sans utiliser les expressions obtenues, montrer à l'aide de la somme et du produit des racines que celles-ci ont toujours une partie réelle strictement négative, et que, lorsqu'elles ne sont pas réelles, elles sont toutes deux de module $ω_{0}$ .

c) Déterminer l'ensemble $L$ des racines de $P$ obtenues lorsque $Q$ décrit $] 0, + \infty [$ (le « lieu des racines ») : on prouvera les deux inclusions, en exprimant $Q$ en fonction de $r$ pour la seconde. Représenter $L$ .

d) Pour $Q > \frac{1}{2}$ , on écrit les racines $- α \pm iω$ avec $α, ω > 0$ . Exprimer $α$ et $ω$ en fonction de $ω_{0}$ et $Q$ , montrer que $ω < ω_{0}$ , et donner les limites de $α$ et de $ω$ quand $Q \to + \infty$ .

Corrigé de la question 1

Ce qu'on a le droit d'utiliser. La résolution du second degré dans $C$ , la somme $- \frac{b}{a}$ et le produit $\frac{c}{a}$ des racines, le fait qu'un trinôme réel de discriminant négatif a deux racines conjuguées, et $∣ z ∣^{2} = z z$ .

a) La résolution. Le discriminant vaut $Δ = \frac{ω _{0}^{2}}{Q ^{2}} - 4 ω_{0}^{2} = \frac{ω _{0}^{2}}{Q ^{2}} (1 - 4 Q^{2}),$ du signe de $1 - 4 Q^{2}$ , c'est-à-dire du signe de $\frac{1}{2} - Q$ puisque $Q > 0$ .

Si $Q < \frac{1}{2}$ : $Δ > 0$ , deux racines réelles distinctes, $r_{\pm} = \frac{ω _{0}}{2 Q} (- 1 \pm 1 - 4 Q^{2}) .$ Si $Q = \frac{1}{2}$ : $Δ = 0$ , une racine double, $r = - \frac{ω _{0}}{2 Q} = - ω_{0}$ .

Si $Q > \frac{1}{2}$ : $Δ < 0$ , et $δ = i \frac{ω _{0}}{Q} 4 Q^{2} - 1$ est une racine carrée de $Δ$ ; deux racines complexes conjuguées, $r_{\pm} = - \frac{ω _{0}}{2 Q} \pm i \frac{ω _{0}}{2 Q} 4 Q^{2} - 1 .$

Question 2 : comment l'IA t'aide

Élève

Avec la somme $- \frac{ω _{0}}{Q}$ et le produit $ω_{0}^{2}$ , le cas des racines réelles se règle par les signes. Mais quand elles ne sont pas réelles, parler de « même signe » n'a plus de sens : comment atteindre leur partie réelle ?

Dans ce cas, le trinôme est à coefficients réels et de discriminant négatif : quelle relation lie alors les deux racines ? Réécris la somme et le produit à l'aide de cette relation.

Élève

Elles sont conjuguées : $r_{2} = r_{1}$ . La somme $r_{1} + r_{1}$ s'exprime alors avec la partie réelle de $r_{1}$ , ce qui m'en donne le signe.

Et le produit $r_{1} r_{1}$ , que représente-t-il ? Qu'en déduis-tu pour le module des racines non réelles, et comment interpréter ce résultat dans le plan complexe ?

L'IA ne donne pas la réponse : elle pose la question qui fait avancer. À toi de continuer.

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