Réel ou de module un

Ce qu'on a le droit d'utiliser. Un complexe $Z$ est réel si et seulement si $\overline{Z}=Z$ ; la conjugaison respecte les opérations ; $z\overline{z}=|z{|}^2$.

La stratégie. Plutôt que de calculer la partie imaginaire du quotient avec $z=x+iy$ — un calcul lourd qui ne montre rien —, on raisonne par équivalences : on écrit que le quotient est égal à son conjugué, on chasse les dénominateurs, et l'on cherche une factorisation.

Mise en équation. Posons $Z=\frac{z}{1+z^2}$, qui est bien défini puisque $1+z^2\ne 0$. Comme la conjugaison respecte les opérations, $\overline{Z}=\frac{\overline{z}}{1+{\overline{z}}^2}$, et ce dénominateur est non nul : c'est le conjugué de $1+z^2$, qui ne l'est pas. Donc $Z$ est réel si et seulement si $Z=\overline{Z}$, c'est-à-dire $\frac{z}{1+z^2}=\frac{\overline{z}}{1+{\overline{z}}^2}$, ce qui équivaut à $$z\left(1+{\overline{z}}^2\right)=\overline{z}\left(1+z^2\right).$$ Cette dernière équivalence est légitime dans les deux sens : on passe d'une égalité à l'autre en multipliant, ou en divisant, par le produit des deux dénominateurs, qui est non nul.

La factorisation. Faisons tout passer à gauche et regroupons les termes deux par deux : $$z+z{\overline{z}}^2-\overline{z}-\overline{z}{z}^2=(z-\overline{z})+z\overline{z}(\overline{z}-z)=(z-\overline{z})-|z{|}^2(z-\overline{z}).$$ Le facteur $z-\overline{z}$ est commun aux deux morceaux : $$Z\in \mathbb{R}⟺(z-\overline{z})\left(1-|z{|}^2\right)=0.$$

Le point délicat. Il est dans le regroupement des deux termes de degré trois : écrits $z{\overline{z}}^2-\overline{z}{z}^2$, ils ne ressemblent à rien ; mais chacun contient le produit $z\overline{z}$, qui est un réel, le carré du module. Une fois ce facteur sorti, il reste $\overline{z}-z$, c'est-à-dire, au signe près, le premier groupe.

Conclusion. Un produit de deux complexes est nul si et seulement si l'un des facteurs l'est. Or $z-\overline{z}=0$ signifie $\overline{z}=z$, c'est-à-dire $z\in \mathbb{R}$ ; et $1-|z{|}^2=0$ signifie $|z|=1$, puisqu'un module est positif. Donc, pour tout $z$ tel que $z^2\ne -1$ : $$\frac{z}{1+z^2}\in \mathbb{R}⟺z\in \mathbb{R}\text{ ou }|z|=1.$$ Géométriquement, l'ensemble cherché est la réunion de l'axe réel et du cercle unité, privée des deux points $i$ et $-i$, seuls points où $1+z^2$ s'annule.

Une seconde lecture de la réciproque. Quand $|z|=1$, on a $\overline{z}=\frac{1}{z}$ ; en divisant numérateur et dénominateur par $z$ : $$\frac{z}{1+z^2}=\frac{1}{\frac{1}{z}+z}=\frac{1}{\overline{z}+z}=\frac{1}{2\mathrm{Re}(z)},$$ qui est bien réel ; la partie réelle n'est pas nulle, car les seuls points du cercle unité de partie réelle nulle sont $i$ et $-i$, exclus. Pour $z=e^{it}$, le quotient vaut $\frac{1}{2\cos t}$.

Contrôle numérique. Pour $z=1+i$, ni réel ni de module un, $z^2=2i$ et $\frac{1+i}{1+2i}=\frac{(1+i)(1-2i)}{5}=\frac{3-i}{5}$, qui n'est pas réel. Pour $z=e^{i\pi /3}$, le quotient vaut $\frac{1}{2\cos \frac{\pi }{3}}=1$. Trente mille complexes tirés au hasard confirment l'équivalence, sans exception.

Ce que l'exercice installe. Le test « $Z$ est réel si et seulement si $Z=\overline{Z}$ », et le réflexe de faire apparaître $z\overline{z}=|z{|}^2$ pour factoriser. Le même geste montre que si $P$ est un polynôme à coefficients réels, $\overline{P(z)}=P(\overline{z})$ : ses racines non réelles vont par paires conjuguées — ce qui servira pour l'équation caractéristique des équations différentielles. En physique, le quotient de deux amplitudes complexes est réel exactement quand les deux signaux sont en phase ou en opposition de phase : c'est ce que dit une impédance réelle.