Superposer deux sinusoïdes : Fresnel, puis les battements

La stratégie. Un signal $A_k\cos (\omega t+{\phi }_k)$ est la partie réelle du vecteur tournant $A_k{e}^{i{\phi }_k}{e}^{i\omega t}$. Additionner deux signaux de même pulsation, c'est additionner deux complexes fixes, puis faire tourner le résultat : toutes les questions d'amplitude deviennent des questions de module.

a) La somme est encore une sinusoïde. Pour tout réel $t$, $A_k\cos (\omega t+{\phi }_k)=\mathrm{Re}\left(A_k{e}^{i{\phi }_k}{e}^{i\omega t}\right)$, et la partie réelle d'une somme est la somme des parties réelles : $$A_1\cos (\omega t+{\phi }_1)+A_2\cos (\omega t+{\phi }_2)=\mathrm{Re}\left(\left(A_1{e}^{i{\phi }_1}+A_2{e}^{i{\phi }_2}\right)e^{i\omega t}\right)=\mathrm{Re}\left(Z{e}^{i\omega t}\right).$$ Si $Z=0$, la somme est nulle : $A=0$ convient, avec n'importe quel $\phi$. Sinon, écrivons $Z$ sous forme trigonométrique, $Z=A{e}^{i\phi }$ avec $A=|Z|>0$ ; alors $\mathrm{Re}\left(A{e}^{i(\omega t+\phi )}\right)=A\cos (\omega t+\phi )$. Dans les deux cas, la superposition de deux sinusoïdes de même pulsation est une sinusoïde de même pulsation, d'amplitude $A=|Z|$ et de phase $\phi =\arg Z$.

b) La formule de Fresnel. Calculons le carré du module comme un produit par le conjugué : $$A^2=Z\overline{Z}=\left(A_1{e}^{i{\phi }_1}+A_2{e}^{i{\phi }_2}\right)\left(A_1{e}^{-i{\phi }_1}+A_2{e}^{-i{\phi }_2}\right)=A_1^2+A_2^2+A_1{A}_2\left(e^{i({\phi }_1-{\phi }_2)}+e^{-i({\phi }_1-{\phi }_2)}\right),$$ et la formule d'Euler donne $e^{i\theta }+e^{-i\theta }=2\cos \theta$ : $$A^2=A_1^2+A_2^2+2A_1{A}_2\cos ({\phi }_1-{\phi }_2).$$ L'encadrement. Comme $-1\le \cos ({\phi }_1-{\phi }_2)\le 1$ et $A_1{A}_2>0$ : $$(A_1-A_2{)}^2=A_1^2+A_2^2-2A_1{A}_2\le A^2\le A_1^2+A_2^2+2A_1{A}_2=(A_1+A_2{)}^2,$$ et la racine carrée, croissante sur les réels positifs, donne $|A_1-A_2|\le A\le A_1+A_2$ — la racine carrée de $(A_1-A_2{)}^2$ est la valeur absolue $|A_1-A_2|$.

Les cas d'égalité. $A=A_1+A_2$ si et seulement si $\cos ({\phi }_1-{\phi }_2)=1$, c'est-à-dire ${\phi }_1\equiv {\phi }_2[2\pi ]$ : les signaux sont en phase — interférences constructives. $A=|A_1-A_2|$ si et seulement si ${\phi }_1-{\phi }_2\equiv \pi [2\pi ]$ : ils sont en opposition de phase — interférences destructives, avec extinction totale si de plus $A_1=A_2$. C'est l'inégalité triangulaire appliquée à $Z$, avec son cas d'égalité : deux complexes de même argument.

c) Deux applications. Le maximum de $3\cos t-4\sin t$. Comme $-\sin t=\cos \left(t+\frac{\pi }{2}\right)$, c'est le a) avec $\omega =1$, $A_1=3$, ${\phi }_1=0$, $A_2=4$, ${\phi }_2=\frac{\pi }{2}$. Les signaux sont en quadrature, $\cos ({\phi }_1-{\phi }_2)=0$, et Fresnel se réduit à Pythagore : $A^2=9+16=25$, $A=5$. Donc $3\cos t-4\sin t=5\cos (t+\phi )$, où $\phi$ est un argument de $Z=3+4i$ ($\cos \phi =\frac{3}{5}$, $\sin \phi =\frac{4}{5}$). L'expression est majorée par $5$ et vaut $5$ pour $t=-\phi$ : son maximum est $5$.

L'équation $\cos t-\sin t=1$. De même $\cos t-\sin t=\mathrm{Re}\left((1+i)e^{it}\right)$ avec $1+i=\sqrt{2}{e}^{i\pi /4}$, donc $\cos t-\sin t=\sqrt{2}\cos \left(t+\frac{\pi }{4}\right)$, et l'équation équivaut à $\cos \left(t+\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}=\cos \frac{\pi }{4}$, c'est-à-dire, deux angles ayant même cosinus si et seulement s'ils sont égaux ou opposés modulo $2\pi$ : $$t+\frac{\pi }{4}\equiv \frac{\pi }{4}[2\pi ]\text{ou}t+\frac{\pi }{4}\equiv -\frac{\pi }{4}[2\pi ],$$ d'où les deux familles $t\equiv 0[2\pi ]$ et $t\equiv -\frac{\pi }{2}[2\pi ]$. On vérifie la seconde : $\cos \left(-\frac{\pi }{2}\right)-\sin \left(-\frac{\pi }{2}\right)=0+1=1$.

d) Les battements. La factorisation. L'angle moitié, appliqué à $e^{ip}+e^{iq}$ avec $p={\omega }_{1}t$ et $q={\omega }_{2}t$, donne $$e^{i{\omega }_{1}t}+e^{i{\omega }_{2}t}=2\cos \frac{({\omega }_1-{\omega }_2)t}{2}{e}^{i({\omega }_1+{\omega }_2)t/2},$$ et, en prenant les parties réelles : $$\cos ({\omega }_{1}t)+\cos ({\omega }_{2}t)=2\cos \frac{({\omega }_1-{\omega }_2)t}{2}\cos \frac{({\omega }_1+{\omega }_2)t}{2}:$$ quand ${\omega }_1$ et ${\omega }_2$ sont voisines, une oscillation rapide à la pulsation moyenne, modulée lentement par le premier facteur.

Le cas général. Mettons $e^{i{\omega }_{1}t}$ en facteur : $A_1{e}^{i{\omega }_{1}t}+A_2{e}^{i{\omega }_{2}t}=e^{i{\omega }_{1}t}\left(A_1+A_2{e}^{i({\omega }_2-{\omega }_1)t}\right)$, dont $s(t)$ est la partie réelle. Le module $M(t)$ est l'amplitude du b), avec ${\phi }_1=0$ et ${\phi }_2=({\omega }_2-{\omega }_1)t$ : $$M(t{)}^2=A_1^2+A_2^2+2A_1{A}_2\cos (({\omega }_2-{\omega }_1)t).$$ Ce cosinus est périodique de période $\frac{2\pi }{|{\omega }_2-{\omega }_1|}$ ; $M(t{)}^2$ aussi, donc $M(t)$, qui en est la racine carrée. Sur une période, le cosinus prend toutes les valeurs de $[-1,1]$ : $M(t)$ oscille entre $|A_1-A_2|$ et $A_1+A_2$, ces deux valeurs étant atteintes. Enfin, la partie réelle d'un complexe étant majorée par son module, et $|e^{i{\omega }_{1}t}|=1$ : $$|s(t)|\le \left|e^{i{\omega }_{1}t}\right|M(t)=M(t).$$ Le signal est enfermé dans l'enveloppe $\pm M(t)$ ; en écrivant $A_1+A_2{e}^{i({\omega }_2-{\omega }_1)t}=M(t)e^{i\psi (t)}$ quand ce nombre n'est pas nul, $s(t)=M(t)\cos ({\omega }_{1}t+\psi (t))$ : une sinusoïde de pulsation ${\omega }_1$ dont l'amplitude varie lentement quand $|{\omega }_2-{\omega }_1|$ est petit devant ${\omega }_1$. Ce sont les battements.

Le point délicat. La période de l'enveloppe est $\frac{2\pi }{|{\omega }_2-{\omega }_1|}$ : la fréquence des battements est la différence $|f_2-f_1|$ des deux fréquences. Pour $A_1=A_2$, l'amplitude $2\left|\cos \frac{({\omega }_1-{\omega }_2)t}{2}\right|$ s'annule deux fois par période du cosinus : c'est la même période, et non le double.

Contrôle numérique. Cinq mille tirages vérifient le a) et le b) à $10^{-9}$ près ; un balayage fin donne pour $3\cos t-4\sin t$ un maximum de $5$ ; pour $A_1=1$ et $A_2=0,6$, l'enveloppe oscille exactement entre $0,4$ et $1,6$, et $|s(t)|$ ne la dépasse jamais.

Ce que l'exercice installe. La méthode des amplitudes complexes (les « vecteurs de Fresnel » du cours de physique, et le diagramme de Fresnel des circuits monophasés et triphasés en sciences industrielles) : un signal sinusoïdal est un complexe qui tourne, la superposition est une addition, l'amplitude un module, le déphasage un argument. La formule de Fresnel des interférences lumineuses est le carré d'un module ; interférences constructives et destructives sont les deux cas d'égalité de l'inégalité triangulaire. Et les battements servent à mesurer une fréquence inconnue par comparaison avec une fréquence connue voisine.