Cosinus hyperbolique égal à deux

Stratégie : ramener une équation hyperbolique à une équation du second degré. Le cosinus hyperbolique est fait de $e^x$ et $e^{-x}$, qui sont inverses l'un de l'autre. En posant $u=e^x$, l'équation devient un trinôme en $u$ — et l'on n'oubliera pas que $u$ doit être strictement positif pour revenir à $x$.

1) L'équation $\mathrm{ch}x=2$. Par définition,

$$\mathrm{ch}x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}=2⟺e^x+e^{-x}=4.$$

Posons $u=e^x$, qui est strictement positif. Alors $e^{-x}=\frac{1}{u}$, et l'équation devient $u+\frac{1}{u}=4$. Multiplions par $u\ne 0$ :

$$u^2-4u+1=0.$$

Le discriminant vaut $16-4=12$, donc $\sqrt{\Delta }=2\sqrt{3}$ et

$$u=\frac{4\pm 2\sqrt{3}}{2}=2\pm \sqrt{3}.$$

⚠️ Il faut vérifier la positivité des deux racines. Ici $\sqrt{3}\approx 1,732<2$, donc $2-\sqrt{3}\approx 0,268>0$ : les deux racines conviennent. C'est un contrôle qu'on doit faire systématiquement — pour une équation comme $\mathrm{ch}x=\frac{1}{2}$, le discriminant serait négatif et il n'y aurait aucune solution.

En revenant à $x=\ln u$ :

$$x=\ln \left(2+\sqrt{3}\right)\text{ou}x=\ln \left(2-\sqrt{3}\right).$$

Et l'on remarque que $\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)=4-3=1$ : les deux racines sont inverses l'une de l'autre, donc leurs logarithmes sont opposés. Les solutions s'écrivent donc

$$x=\pm \ln \left(2+\sqrt{3}\right)\approx \pm 1,3170.$$

Ce n'est pas un hasard : le cosinus hyperbolique est pair, ses solutions vont nécessairement par paires opposées.

2) La fonction $\mathrm{ch}-\mathrm{sh}$. Les définitions donnent immédiatement

$$\mathrm{ch}x-\mathrm{sh}x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}-\frac{e^x-e^{-x}}{2}=e^{-x}.$$

Tout est dit : cette fonction est l'exponentielle décroissante. Elle est dérivable sur $\mathbb{R}$, de dérivée $-e^{-x}<0$, donc strictement décroissante sur $\mathbb{R}$ ; elle tend vers $+\infty$ en $-\infty$, vaut $1$ en $0$, et

$$\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\mathrm{ch}x-\mathrm{sh}x\right)=\underset{x\to +\infty }{\lim }{e}^{-x}=0.$$

Ce résultat est frappant : $\mathrm{ch}x$ et $\mathrm{sh}x$ tendent tous deux vers $+\infty$, mais leur différence tend vers zéro. Les deux courbes se rapprochent indéfiniment sans jamais se toucher — la fonction $e^{-x}$ ne s'annulant jamais.

Contrôle numérique. Avec $x=\ln (2+\sqrt{3})\approx 1,31696$ : $e^x\approx 3,73205$ et $e^{-x}\approx 0,26795$, dont la demi-somme vaut $2,00000$. ✔ Et pour la seconde question, en $x=5$ : $\mathrm{ch}5\approx 74,20995$, $\mathrm{sh}5\approx 74,20321$, différence $\approx 0,00674$, tandis que $e^{-5}\approx 0,00674$. ✔ L'identité est vérifiée à $10^{-12}$ près sur tout l'intervalle testé.

Ce que l'exercice installe. Le changement de variable $u=e^x$, qui ramène toute équation en $\mathrm{ch}$, $\mathrm{sh}$ ou $\mathrm{th}$ à une équation algébrique — à condition de ne garder que les racines strictement positives. Et l'identité $\mathrm{ch}x-\mathrm{sh}x=e^{-x}$, symétrique de $\mathrm{ch}x+\mathrm{sh}x=e^x$ : les deux fonctions hyperboliques ne sont rien d'autre que les parties paire et impaire de l'exponentielle.