Dériver et primitiver en complexe

Ce qu'on a le droit d'utiliser. La dérivée d'une fonction à valeurs complexes est définie par ses parties réelle et imaginaire, de sorte que $(\mathrm{Re}F{)}^{\prime }=\mathrm{Re}(F^{\prime })$ et $(\mathrm{Im}F{)}^{\prime }=\mathrm{Im}(F^{\prime })$ ; la formule ${\left(e^{\lambda x}\right)}^{\prime }=\lambda e^{\lambda x}$ pour $\lambda$ complexe ; la description des primitives d'une fonction sur un intervalle.

La stratégie. On remplace la fonction réelle par une exponentielle complexe dont elle est la partie réelle ou imaginaire ; sur l'exponentielle, dériver $n$ fois, c'est multiplier par ${\lambda }^n$, et primitiver, c'est diviser par $\lambda$. On revient ensuite au réel en prenant la partie réelle ou imaginaire.

a) Une primitive, et l'intégrale. Avec $\lambda =-1+i$ : $e^{\lambda x}=e^{-x}(\cos x+i\sin x)$, dont la partie imaginaire est $e^{-x}\sin x$. Une primitive de $e^{\lambda x}$ est $\frac{e^{\lambda x}}{\lambda }$, et $\frac{1}{-1+i}=\frac{-1-i}{2}$ : $$\frac{e^{\lambda x}}{\lambda }=\frac{e^{-x}}{2}(-1-i)(\cos x+i\sin x)=\frac{e^{-x}}{2}((\sin x-\cos x)-i(\sin x+\cos x)).$$ Sa partie imaginaire $F(x)=-\frac{e^{-x}(\sin x+\cos x)}{2}$ a pour dérivée la partie imaginaire de $e^{\lambda x}$, c'est-à-dire $e^{-x}\sin x$ : les primitives cherchées sont les $F+C$, $C\in \mathbb{R}$. Et $${\int }_0^{\pi }{e}^{-x}\sin x\mathrm{d}x=F(\pi )-F(0)=\frac{e^{-\pi }}{2}+\frac{1}{2}=\frac{1+e^{-\pi }}{2}.$$

b) Les dérivées successives. Posons $E(x)=e^{\lambda x}$. Par récurrence, $E^{(n)}={\lambda }^{n}E$ : c'est vrai pour $n=0$, et si $E^{(n)}(x)={\lambda }^n{e}^{\lambda x}$, la dérivée de ce produit d'une constante par $e^{\lambda x}$ vaut ${\lambda }^{n+1}{e}^{\lambda x}$. Comme $e^{ax}\cos (bx)=\mathrm{Re}(E(x))$ et que la dérivation commute avec la partie réelle : $${\left(e^{ax}\cos (bx)\right)}^{(n)}=\mathrm{Re}\left({\lambda }^n{e}^{\lambda x}\right)=\mathrm{Re}\left(r^n{e}^{in\theta }{e}^{ax}{e}^{ibx}\right)=r^n{e}^{ax}\cos (bx+n\theta ).$$

c) La primitive, puis le signal sinusoïdal. Posons $G(x)=\frac{1}{r}{e}^{ax}\cos (bx-\theta )$. Comme $\frac{1}{\lambda }=\frac{1}{r}{e}^{-i\theta }$, on a $G(x)=\mathrm{Re}\left(\frac{1}{\lambda }{e}^{\lambda x}\right)$, donc $G^{\prime }(x)=\mathrm{Re}\left(e^{\lambda x}\right)=e^{ax}\cos (bx)$ : c'est la formule du b) pour $n=-1$, dériver $-1$ fois revenant à diviser par $\lambda$. En prenant les parties imaginaires, une primitive de $e^{ax}\sin (bx)$ est de même $\frac{1}{r}{e}^{ax}\sin (bx-\theta )$.

Retour au a). Ici $\lambda =-1+i=\sqrt{2}{e}^{3i\pi /4}$ : une primitive de $e^{-x}\sin x$ est $\frac{1}{\sqrt{2}}{e}^{-x}\sin \left(x-\frac{3\pi }{4}\right)$. Comme $\sin \left(x-\frac{3\pi }{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}(\sin x+\cos x)$, on retrouve $-\frac{e^{-x}(\sin x+\cos x)}{2}$.

Le cas $a=0$. Pour un signal $X\cos (\omega t)$ avec $X>0$ et $\omega >0$, on a $\lambda =i\omega =\omega e^{i\pi /2}$ : $r=\omega$ et $\theta =\frac{\pi }{2}$. Donc $$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(X\cos (\omega t))=\omega X\cos \left(\omega t+\frac{\pi }{2}\right),\text{et une primitive est}\frac{X}{\omega }\cos \left(\omega t-\frac{\pi }{2}\right).$$ Dériver multiplie l'amplitude par $\omega$ et avance la phase de $\frac{\pi }{2}$ ; primitiver divise l'amplitude par $\omega$ et retarde la phase de $\frac{\pi }{2}$. En notation complexe, sur $X{e}^{i\omega t}$, c'est la multiplication et la division par $i\omega$.

Le point délicat. Tout repose sur la commutation de la dérivation avec la partie réelle, qui vient de la définition de la dérivée d'une fonction complexe. Et il faut $\lambda \ne 0$ pour écrire $\lambda =r{e}^{i\theta }$ avec $r>0$ et pour diviser : d'où l'hypothèse « $a$, $b$ non tous deux nuls ».

Contrôle numérique. $\frac{1+e^{-\pi }}{2}\approx 0,5216$. La formule du b) est vérifiée symboliquement pour $n=0$ à $4$ et quatre couples $(a,b)$, la primitive du c) pour les mêmes couples.

Ce que l'exercice installe. En notation complexe, dériver, c'est multiplier par $\lambda$ ; primitiver, c'est diviser par $\lambda$. Deux intégrations par parties et une équation se réduisent à une division. C'est exactement la règle des impédances complexes de l'électricité en régime sinusoïdal : la tension aux bornes d'une bobine, proportionnelle à la dérivée du courant, s'obtient en multipliant l'amplitude complexe du courant par $iL\omega$ ; celle d'un condensateur, en la divisant par $iC\omega$.