$e^{\pi }$ contre ${\pi }^e$, et l'équation $m^n=n^m$

La stratégie. Comparer $a^b$ et $b^a$ directement est sans espoir. Mais en passant au logarithme puis en divisant par $ab$, on compare $\frac{\ln a}{a}$ et $\frac{\ln b}{b}$ : deux valeurs d'une même fonction, qu'une étude de variations départage.

1) L'étude de $\phi (x)=\frac{\ln x}{x}$. Sur $]0,+\infty [$, $\phi$ est dérivable et $${\phi }^{\prime }(x)=\frac{\frac{1}{x}\cdot x-\ln x}{x^2}=\frac{1-\ln x}{x^2},$$ du signe de $1-\ln x$ : positif pour $x<e$, nul en $e$, négatif pour $x>e$. La fonction est strictement croissante sur $]0,e]$ et strictement décroissante sur $[e,+\infty [$, de maximum $\phi (e)=\frac{1}{e}$ ; elle est négative sur $]0,1[$, nulle en $1$, strictement positive sur $]1,+\infty [$.

2) $e^{\pi }$ contre ${\pi }^e$. Comme $e<\pi$ et que $\phi$ est strictement décroissante sur $[e,+\infty [$ : $\phi (\pi )<\phi (e)$, c'est-à-dire $\frac{\ln \pi }{\pi }<\frac{1}{e}$. En multipliant par $e\pi >0$ : $e\ln \pi <\pi =\pi \ln e$, soit $\ln \left({\pi }^e\right)<\ln \left(e^{\pi }\right)$, et par stricte croissance de l'exponentielle : $${\pi }^e<e^{\pi }.$$

3) L'équation $m^n=n^m$. Soient $1\le m<n$ des entiers. En prenant le logarithme, $n\ln m=m\ln n$, et en divisant par $mn>0$ : $m^n=n^m$ équivaut à $\phi (m)=\phi (n)$.

Le cas $m=1$ est impossible : $\phi (1)=0$, alors que $\phi (n)>0$ pour $n>1$.

L'argument de monotonie. Si $m$ et $n$ étaient tous deux dans $]0,e]$, la stricte croissance donnerait $\phi (m)<\phi (n)$ ; s'ils étaient tous deux dans $[e,+\infty [$, la stricte décroissance donnerait $\phi (m)>\phi (n)$. Donc $m<e<n$. L'entier $m$, supérieur ou égal à $2$ et inférieur à $e\approx 2,718$, vaut $2$.

Il reste $\phi (n)=\phi (2)$ avec $n\ge 3$. Sur $[e,+\infty [$, $\phi$ est strictement décroissante, donc injective : il y a au plus un entier $n\ge 3$ convenable. Or $n=4$ convient : $\phi (4)=\frac{\ln 4}{4}=\frac{2\ln 2}{4}=\frac{\ln 2}{2}=\phi (2)$, c'est-à-dire $2^4=16=4^2$.

Conclusion. Le seul couple d'entiers $1\le m<n$ tel que $m^n=n^m$ est $(2,4)$.

Le point délicat. C'est le raisonnement de comptage : une fonction strictement croissante puis strictement décroissante prend chaque valeur au plus deux fois, une fois de chaque côté de son sommet. C'est lui qui transforme une équation à deux inconnues entières en une vérification finie.

Contrôle numérique. $e^{\pi }\approx 23,1407$ et ${\pi }^e\approx 22,4592$ : l'écart n'est que de $3\%$, la question ne se tranchait pas à vue. Un balayage de tous les couples $1\le m<n<200$ ne rend que $(2,4)$ ; et $(3,4)$ ne convient pas : $3^4=81$ tandis que $4^3=64$.

Ce que l'exercice installe. La technique du « logarithme divisé » : $a^b$ et $b^a$ se comparent en comparant $\frac{\ln a}{a}$ et $\frac{\ln b}{b}$. Et l'usage des variations pour compter les solutions d'une équation : une étude de fonction ne sert pas qu'à tracer, elle dénombre.