Les intégrales de Wallis

Ce qu'on a le droit d'utiliser. L'intégration par parties pour des fonctions de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur un segment, le changement de variable, et la relation ${\cos }^2=1-{\sin }^2$.

La stratégie. On ne calcule pas $I_n$ directement : une intégration par parties l'exprime en fonction de $I_{n-2}$, ce qui donne une relation de récurrence, qu'on descend jusqu'aux deux valeurs initiales $I_0$ et $I_1$.

a) La récurrence. Les valeurs initiales. $I_0={\int }_0^{\pi /2}\mathrm{d}t=\frac{\pi }{2}$ et $I_1=[-\cos t{]}_0^{\pi /2}=0-(-1)=1$.

L'intégration par parties. Soit $n\ge 2$. On écrit ${\sin }^{n}t={\sin }^{n-1}t\times \sin t$, et l'on intègre par parties en dérivant ${\sin }^{n-1}t$, de dérivée $(n-1){\sin }^{n-2}t\cos t$, et en primitivant $\sin t$ en $-\cos t$ ; ces deux fonctions sont de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$ : $$I_n=[-{\sin }^{n-1}t\cos t{]}_0^{\pi /2}+(n-1){\int }_0^{\pi /2}{\sin }^{n-2}t{\cos }^{2}t\mathrm{d}t.$$ Le crochet est nul aux deux bornes : en $\frac{\pi }{2}$ parce que $\cos \frac{\pi }{2}=0$, en $0$ parce que $\sin 0=0$ et $n-1\ge 1$. En remplaçant ${\cos }^{2}t$ par $1-{\sin }^{2}t$ : $$I_n=(n-1){\int }_0^{\pi /2}{\sin }^{n-2}t\left(1-{\sin }^{2}t\right)\mathrm{d}t=(n-1)\left(I_{n-2}-I_n\right).$$

Le point délicat. $I_n$ réapparaît dans le membre de droite. Ce n'est pas un échec, c'est une équation : $I_n+(n-1)I_n=(n-1)I_{n-2}$, c'est-à-dire $$n{I}_n=(n-1)I_{n-2}.$$ C'est le remplacement de ${\cos }^2$ par $1-{\sin }^2$ qui referme le calcul sur lui-même.

Les six premières valeurs. $I_n=\frac{n-1}{n}{I}_{n-2}$ donne, à partir des deux valeurs initiales : $I_2=\frac{1}{2}\cdot \frac{\pi }{2}=\frac{\pi }{4}$, puis $I_3=\frac{2}{3}\cdot 1=\frac{2}{3}$, puis $I_4=\frac{3}{4}\cdot \frac{\pi }{4}=\frac{3\pi }{16}$, et enfin $I_5=\frac{4}{5}\cdot \frac{2}{3}=\frac{8}{15}$. Les indices pairs font apparaître $\pi$, les indices impairs restent rationnels : la récurrence saute de deux en deux, et ne relie jamais un rang impair à $I_0$.

b) Le changement de variable. Posons $t=\frac{\pi }{2}-u$ : la fonction $u\mapsto \frac{\pi }{2}-u$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$, $\mathrm{d}t=-\mathrm{d}u$, et quand $t$ va de $0$ à $\frac{\pi }{2}$, $u$ va de $\frac{\pi }{2}$ à $0$. Comme $\sin \left(\frac{\pi }{2}-u\right)=\cos u$ : $$I_n={\int }_{\pi /2}^0{\cos }^{n}u(-\mathrm{d}u)={\int }_0^{\pi /2}{\cos }^{n}u\mathrm{d}u.$$ Le changement de variable échange les deux bornes, et le signe moins du $\mathrm{d}t$ les remet dans l'ordre. D'où, sans calcul : ${\int }_0^{\pi /2}{\cos }^{4}u\mathrm{d}u=I_4=\frac{3\pi }{16}$ et ${\int }_0^{\pi /2}{\cos }^{5}u\mathrm{d}u=I_5=\frac{8}{15}$. Géométriquement, la symétrie $t\mapsto \frac{\pi }{2}-t$ échange les graphes de ${\sin }^n$ et de ${\cos }^n$ sur $\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$ : les aires sous ces graphes sont égales.

Contrôle numérique. Un calcul symbolique redonne exactement $\frac{\pi }{2},1,\frac{\pi }{4},\frac{2}{3},\frac{3\pi }{16},\frac{8}{15}$, soit en décimales $1,5708>1>0,7854>0,6667>0,5890>0,5333$ : la suite décroît, comme il se doit puisque $0\le \sin t\le 1$ sur l'intervalle. Il confirme aussi l'égalité des intégrales de ${\sin }^n$ et de ${\cos }^n$ pour $n\le 5$.

Ce que l'exercice installe. Le schéma des intégrales à paramètre entier : quand une intégrale résiste, on la relie à ses voisines par une intégration par parties, puis on descend par récurrence. Poussée plus loin, la même récurrence conduit à la formule de Wallis, que la séance laisse à la culture. Et $I_2=\frac{\pi }{4}$ dit que la valeur moyenne de ${\sin }^2$ sur un quart de période vaut $\frac{1}{2}$ — sur une période entière aussi, par symétrie : c'est pourquoi la valeur efficace d'un signal sinusoïdal d'amplitude $A$ vaut $\frac{A}{\sqrt{2}}$.