Régime transitoire, régime permanent : le filtre RC

Exercice de TD · niveau 2 · mathématiques (PTSI), chapitre 4 — Calcul différentiel et intégral · F. Équations différentielles du premier ordre

Énoncé

Un condensateur, en série avec une résistance, est alimenté par une tension $e (t)$ . La tension $u$ aux bornes du condensateur vérifie $(E) τ u^{'} (t) + u (t) = e (t), τ = R C > 0.$

a) On suppose $e (t) = E cos (ω t)$ , avec $E > 0$ et $ω > 0$ . Chercher une solution de l'équation complexe $τ z^{'} + z = E e^{iω t}$ de la forme $z (t) = U e^{iω t}$ , avec $U \in C$ . En déduire une solution réelle de $(E)$ de la forme $u_{p} (t) = E G (ω) cos (ω t + φ (ω))$ , où l'on explicitera $G (ω) > 0$ et $φ (ω) \in] - \frac{π}{2}, 0 [$ .

b) Résoudre $(E)$ . Montrer que pour toute solution $u$ et tout $t \geq 0$ : $∣ u (t) - u_{p} (t) ∣ = ∣ u (0) - u_{p} (0) ∣ e^{- t / τ}$ . Au bout de combien de temps, en multiples de $τ$ , l'écart initial est-il divisé par $100$ ?

c) Étudier $G$ et $φ$ sur $] 0, + \infty [$ (variations, limites en $0$ et en $+ \infty$ ). Déterminer la pulsation $ω_{c}$ telle que $G (ω_{c}) = \frac{1}{2}$ , puis $φ (ω_{c})$ .

d) On prend $e (t) = E cos (\frac{ω _{c} t}{10}) + E cos (10 ω_{c} t)$ . Déterminer le régime permanent (principe de superposition), et donner les deux gains à $1 0^{- 3}$ près. Pourquoi ce montage est-il appelé filtre passe-bas ?

e) Diagramme de Bode. On pose $x = \frac{ω}{ω _{c}}$ et l'on définit le gain en décibels $G_{dB} = 20 lo g_{10} G$ , où $lo g_{10}$ est le logarithme décimal. Exprimer $G_{dB}$ en fonction de $x$ . Montrer que, tracé en fonction de $lo g_{10} x$ , il admet pour asymptote la droite $G_{dB} = 0$ quand $x \to 0$ , et la droite $G_{dB} = - 20 lo g_{10} x$ quand $x \to + \infty$ (on étudiera la différence entre $G_{dB}$ et chaque asymptote). Que vaut $G_{dB}$ en $x = 1$ ? De combien de décibels le gain diminue-t-il quand la pulsation est multipliée par $10$ , loin au-delà de $ω_{c}$ ?

Corrigé

Ce qu'on a le droit d'utiliser. Les solutions de l'équation homogène $y^{'} + a y = 0$ ( $a$ constante) sont les $C e^{- a x}$ ; toute solution est la somme d'une solution particulière et d'une solution homogène ; le principe de superposition ; la dérivée $(e^{iω t})^{'} = iω e^{iω t}$ ; la forme trigonométrique d'un complexe non nul ; pour le e), les propriétés du logarithme décimal $lo g_{10} = \frac{l n}{l n 10}$ , qui transforme lui aussi les produits en sommes.

La stratégie. On cherche la réponse au signal sinusoïdal en complexe, où dériver revient à multiplier par $iω$ : l'équation différentielle devient une équation du premier degré en $U$ . La partie réelle donne une solution réelle ; la structure des solutions fait le reste.

a) La réponse sinusoïdale. Pour $z (t) = U e^{iω t}$ : $z^{'} (t) = iω U e^{iω t}$ , donc $τ z^{'} + z = (1 + i τ ω) U e^{iω t}$ , qui vaut $E e^{iω t}$ pour tout $t$ si et seulement si $U = \frac{E}{1 + i τ ω} .$ Le retour au réel. Écrivons $z = x + i y$ avec $x$ , $y$ réels. Comme $τ$ et $1$ sont réels, la partie réelle de $τ z^{'} + z$ est $τ x^{'} + x$ , et celle de $E e^{iω t}$ est $E cos (ω t)$ : la partie réelle d'une solution complexe est une solution réelle de $(E)$ .

Le module et l'argument. Le complexe $1 + i τ ω$ a pour module $1 + τ^{2} ω^{2}$ ; ses parties réelle et imaginaire étant strictement positives, un argument $ψ$ en est dans $] 0, \frac{π}{2} [$ , avec $tan ψ = τ ω$ , donc $ψ = Arctan (τ ω)$ . Ainsi $U = E G (ω) e^{i φ (ω)}$ avec $G (ω) = \frac{1}{1 + τ ^{2} ω ^{2}},$ et $φ (ω) = - Arctan (τ ω)$ , qui appartient bien à $] - \frac{π}{2}, 0 [$ ; et $u_{p} (t) = Re (E G e^{i (ω t + φ)}) = E G (ω) cos (ω t + φ (ω))$ .

b) Le transitoire s'éteint. L'équation homogène $τ u^{'} + u = 0$ , soit $u^{'} + \frac{1}{τ} u = 0$ , a pour solutions les $C e^{- t / τ}$ . Les solutions de $(E)$ sont donc les $u = u_{p} + C e^{- t / τ}$ , $C \in R$ , et $t = 0$ donne $C = u (0) - u_{p} (0)$ : $u (t) - u_{p} (t) = (u (0) - u_{p} (0)) e^{- t / τ},$ et, en prenant les valeurs absolues, $∣ u (t) - u_{p} (t) ∣ = ∣ u (0) - u_{p} (0) ∣ e^{- t / τ}$ . L'écart est divisé par $100$ quand $e^{- t / τ} = \frac{1}{100}$ , c'est-à-dire au bout de $t = τ ln 100 \approx 4, 6 τ$ . Divisé par $20$ , il l'est au bout de $τ ln 20 \approx 3, 0 τ$ : c'est le « temps de réponse à 5 % » des sciences industrielles, trois constantes de temps pour un premier ordre.

Le point délicat. Toutes les solutions, quelle que soit la condition initiale, se rapprochent exponentiellement de la même : $u_{p}$ . La condition initiale ne vit que dans le terme $C e^{- t / τ}$ , qui s'éteint. C'est ce qui justifie de parler du régime permanent sinusoïdal : $u_{p}$ est la seule solution périodique, car pour $C \neq = 0$ , $u_{p} + C e^{- t / τ}$ s'écarte de $u_{p}$ d'une quantité strictement monotone.

c) Gain et déphasage. La fonction $ω \mapsto 1 + τ^{2} ω^{2}$ est strictement croissante et strictement positive sur $] 0, + \infty [$ , et $s \mapsto \frac{1}{s}$ est strictement décroissante : par composition, $G$ est strictement décroissante, de limite $1$ en $0$ et $0$ en $+ \infty$ . L'arc tangente étant strictement croissant, de limite $\frac{π}{2}$ en $+ \infty$ , $φ$ est strictement décroissante, de $0$ vers $- \frac{π}{2}$ . Enfin $G (ω_{c}) = \frac{1}{2} ⟺ 1 + τ^{2} ω_{c}^{2} = 2 ⟺ ω_{c} = \frac{1}{τ},$ puisque $ω_{c} > 0$ ; et $φ (ω_{c}) = - Arctan 1 = - \frac{π}{4}$ .

d) Deux signaux, deux sorts. Par le principe de superposition, $u_{1} + u_{2}$ est solution de $(E)$ pour la somme des seconds membres, où $u_{1}$ et $u_{2}$ sont les réponses du a) aux pulsations $\frac{ω _{c}}{10}$ et $10 ω_{c}$ ; et, comme au b), toute solution en diffère d'un terme $C e^{- t / τ}$ qui s'éteint. Le régime permanent est donc $u_{1} (t) + u_{2} (t) = E G (\frac{ω _{c}}{10}) cos (\frac{ω _{c} t}{10} + φ (\frac{ω _{c}}{10})) + E G (10 ω_{c}) cos (10 ω_{c} t + φ (10 ω_{c})) .$ Avec $τ ω_{c} = 1$ : $G (\frac{ω _{c}}{10}) = \frac{1}{1 + 1/100} = \frac{10}{101} \approx 0, 995$ et $G (10 ω_{c}) = \frac{1}{101} \approx 0, 0995$ , soit $0, 100$ à $1 0^{- 3}$ près. Les déphasages valent $- Arctan (0, 1) \approx - 0, 10$ rad et $- Arctan (10) \approx - 1, 47$ rad.

Le filtre passe-bas. La composante lente passe presque intacte, la composante rapide est divisée par dix : le montage laisse passer les basses fréquences et atténue les hautes. La pulsation $ω_{c}$ , dite pulsation de coupure, est la frontière entre les deux comportements ; le e) va la lire en décibels.

e) Le diagramme de Bode. Le gain en décibels. Comme $ω_{c} = \frac{1}{τ}$ , on a $τ ω = \frac{ω}{ω _{c}} = x$ , donc $G = \frac{1}{1 + x ^{2}} = (1 + x^{2})^{- 1/2}$ . Le logarithme décimal transforme une puissance en produit : $lo g_{10} (y^{α}) = α lo g_{10} y$ pour $y > 0$ . D'où $G_{dB} = 20 lo g_{10} (1 + x^{2})^{- 1/2} = - 10 lo g_{10} (1 + x^{2}) .$ On trace $G_{dB}$ en fonction de $X = lo g_{10} x$ : quand $x$ tend vers $0$ , $X$ tend vers $- \infty$ ; quand $x$ tend vers $+ \infty$ , $X$ tend vers $+ \infty$ .

L'asymptote en basse fréquence. La différence entre $G_{dB}$ et la droite $G_{dB} = 0$ est $G_{dB}$ lui-même, $- 10 lo g_{10} (1 + x^{2})$ . Quand $x \to 0$ , $1 + x^{2} \to 1$ , et par continuité du logarithme décimal en $1$ , cette différence tend vers $lo g_{10} 1 = 0$ . La droite horizontale $G_{dB} = 0$ est asymptote, et la courbe est au-dessous, puisque $1 + x^{2} > 1$ .

L'asymptote en haute fréquence. On forme la différence avec la droite $G_{dB} = - 20 lo g_{10} x$ , en écrivant $20 lo g_{10} x = 10 lo g_{10} (x^{2})$ : $G_{dB} - (- 20 lo g_{10} x) = - 10 lo g_{10} (1 + x^{2}) + 10 lo g_{10} (x^{2}) = - 10 lo g_{10} (1 + \frac{1}{x ^{2}}) .$ Quand $x \to + \infty$ , $1 + \frac{1}{x ^{2}} \to 1$ , et la différence tend vers $0$ : la droite $G_{dB} = - 20 X$ est asymptote, et la courbe est encore au-dessous. Dans le plan où l'on porte $X = lo g_{10} x$ en abscisse, cette asymptote est une droite de pente $- 20$ .

Au point de coupure. En $x = 1$ , $G_{dB} = - 10 lo g_{10} 2 \approx - 3, 01$ dB : ce sont les « moins trois décibels » qui définissent la coupure. Les deux asymptotes se coupent en $X = 0$ , c'est-à-dire en $x = 1$ , et c'est là que la courbe s'en écarte le plus : pour $x \leq 1$ , l'écart à l'asymptote horizontale est $10 lo g_{10} (1 + x^{2}) \leq 10 lo g_{10} 2$ ; pour $x \geq 1$ , l'écart à l'autre est $10 lo g_{10} (1 + \frac{1}{x ^{2}}) \leq 10 lo g_{10} 2$ . La courbe réelle ne s'éloigne jamais de plus de $3, 01$ dB de la ligne brisée formée par les deux asymptotes.

Par décade. Loin au-delà de $ω_{c}$ , la courbe se confond avec la droite $- 20 lo g_{10} x$ : multiplier la pulsation par $10$ augmente $lo g_{10} x$ de $1$ , et fait donc perdre $20$ décibels — une atténuation de « moins vingt décibels par décade ». Exactement, $G_{dB} (10 x) - G_{dB} (x) = - 10 lo g_{10} \frac{1 + 100 x ^{2}}{1 + x ^{2}}$ , qui tend vers $- 10 lo g_{10} 100 = - 20$ quand $x \to + \infty$ .

Le point délicat du e). L'asymptote oblique n'existe que parce qu'on a changé d'échelle deux fois : en ordonnée, le gain est porté en décibels ; en abscisse, la pulsation est portée par son logarithme. Dans ces deux échelles logarithmiques, la loi de puissance $G \approx \frac{1}{x}$ des hautes fréquences devient une droite. En échelle linéaire, $G$ tend vers $0$ sans asymptote oblique.

Contrôle numérique. Pour $τ = 1$ ms : $ω_{c} = 1000$ rad/s, soit une fréquence de coupure d'environ $159$ Hz. Les valeurs $G = \frac{1}{1 + τ ^{2} ω ^{2}}$ et $φ = - Arctan (τ ω)$ sont confirmées symboliquement, et une solution générale vérifiée numériquement satisfait $(E)$ à $1 0^{- 6}$ près. En décibels : $G_{dB} (0, 1) \approx - 0, 04$ dB, $G_{dB} (1) \approx - 3, 01$ dB, $G_{dB} (10) \approx - 20, 04$ dB, $G_{dB} (100) \approx - 40, 0004$ dB : l'asymptote est rejointe à mieux qu'un dixième de décibel dès une décade de part et d'autre de la coupure.

Ce que l'exercice installe. La structure « solution générale = particulière + homogène » a un sens physique : la partie homogène est le régime transitoire, qui s'éteint en quelques $τ$ et emporte avec lui la condition initiale ; la partie particulière est le régime permanent, qu'on trouve en complexe. Gain, déphasage, pulsation de coupure et superposition : tout le vocabulaire des filtres du programme de physique est là. Et le diagramme de Bode, que les sciences industrielles de PTSI demandent de tracer sous sa forme réelle et asymptotique pour les systèmes du premier et du second ordre, n'est rien d'autre qu'une étude de fonction faite dans deux échelles logarithmiques : un premier ordre se résume à deux demi-droites, l'une horizontale, l'autre de pente $- 20$ décibels par décade, qui se coupent à la pulsation de coupure.

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