Une somme de deux sinusoïdes qui n'est pas périodique

Ce qu'on a le droit d'utiliser. La définition : $g$ est $T$-périodique, avec $T>0$, si $g(x+T)=g(x)$ pour tout réel $x$. Le fait que $\cos \theta =1$ si et seulement si $\theta \in 2\pi \mathbb{Z}$. L'irrationalité de $\sqrt{2}$.

La stratégie. Pour montrer qu'une fonction n'est pas périodique, on cherche une propriété qu'une période devrait préserver : ici, l'ensemble des points où le maximum est atteint. Si $f$ est $T$-périodique, cet ensemble est invariant par la translation de $T$ ; or on va voir qu'il se réduit à un seul point.

a) Le maximum, et où il est atteint. Chacun des deux cosinus est majoré par $1$, donc $f(x)\le 2$. Et une somme de deux réels majorés par $1$ vaut $2$ si et seulement si les deux valent $1$ : si l'un était strictement inférieur à $1$, la somme serait strictement inférieure à $2$. Donc $f(x)=2$ si et seulement si $\cos x=1$ et $\cos \left(\sqrt{2}x\right)=1$, c'est-à-dire $$x\in 2\pi \mathbb{Z}\text{et}\sqrt{2}x\in 2\pi \mathbb{Z}.$$ Supposons $x\ne 0$ dans ce cas : $x=2k\pi$ et $\sqrt{2}x=2m\pi$, avec $k$ et $m$ entiers et $k\ne 0$. En divisant, $\sqrt{2}=\frac{m}{k}$ serait rationnel : c'est faux. Donc $x=0$, et réciproquement $f(0)=2$. Le maximum $2$ n'est atteint qu'en $0$.

b) Pas de période. Supposons $f$ périodique, de période $T>0$. Alors $f(T)=f(0+T)=f(0)=2$, donc $T=0$ d'après le a) — ce qui contredit $T>0$. $f$ n'est pas périodique.

Le point délicat. Chacun des deux termes est périodique, de périodes $2\pi$ et $\sqrt{2}\pi$ ; mais une somme de fonctions périodiques n'est périodique que si elles ont une période commune. Ici, un multiple commun de $2\pi$ et de $\sqrt{2}\pi$ forcerait $\sqrt{2}$ à être rationnel : c'est l'irrationalité qui empêche la périodicité.

c) Le cas général. Posons $g(x)=\cos (ax)+\cos (bx)$.

Si $\frac{a}{b}$ est rationnel, écrivons $\frac{a}{b}=\frac{p}{q}$ avec $p$, $q$ entiers strictement positifs (le quotient est positif), et posons $T=\frac{2\pi q}{b}$. Comme $aq=bp$, on a aussi $T=\frac{2\pi p}{a}$ : donc $aT=2\pi p$ et $bT=2\pi q$, et pour tout $x$, $$g(x+T)=\cos (ax+2\pi p)+\cos (bx+2\pi q)=g(x).$$ La fonction $g$ est $T$-périodique.

Réciproquement, si $g$ est $T$-périodique avec $T>0$, le raisonnement du a) s'applique : $g(T)=g(0)=2$, donc $\cos (aT)=\cos (bT)=1$, soit $aT=2\pi p$ et $bT=2\pi q$ avec $p$, $q$ entiers, strictement positifs puisque $a$, $b$, $T$ le sont. Alors $\frac{a}{b}=\frac{aT}{bT}=\frac{p}{q}$ est rationnel.

Conclusion. $x\mapsto \cos (ax)+\cos (bx)$ est périodique si et seulement si $\frac{a}{b}\in \mathbb{Q}$ ; si $\frac{a}{b}=\frac{p}{q}$, le réel $\frac{2\pi q}{b}$ est une période. Par exemple, $\cos (2x)+\cos (3x)$ est $2\pi$-périodique ; et $f$ correspond à $\frac{a}{b}=\frac{1}{\sqrt{2}}$, irrationnel.

Contrôle numérique. Sur $[-200,200]$, hors d'un voisinage de $0$, $f$ reste strictement inférieure à $2$ ; elle s'en approche pourtant beaucoup — elle vaut $1,9990$ près de $x\approx 182,18$ — sans jamais l'atteindre. Et $\cos (2x)+\cos (3x)$ reprend bien les mêmes valeurs après $2\pi$.

Ce que l'exercice installe. Une période se lit sur les points où le maximum est atteint, qu'elle doit permuter entre eux. Et un critère : deux oscillations se recombinent en un signal périodique si et seulement si leurs fréquences sont commensurables, de rapport rationnel. En physique, un signal formé de deux sinusoïdes de fréquences incommensurables est dit quasi périodique : son spectre montre deux raies, mais le signal ne se reproduit jamais exactement.