Bornes d'une partie dilatée

Stratégie : la caractérisation de la borne supérieure, toujours en deux temps — d'abord « c'est un majorant », ensuite « aucun réel plus petit n'en est un ».

Posons $\alpha =\sup A$ et $\beta =\inf A$, qui existent puisque $A$ est non vide et bornée.

1) La dilatation positive : $\sup (\lambda A)=\lambda \alpha$ pour $\lambda >0$.

C'est un majorant. Pour tout $a\in A$, on a $a\le \alpha$ ; multiplier par $\lambda >0$ conserve le sens de l'inégalité, donc $\lambda a\le \lambda \alpha$. Ainsi $\lambda \alpha$ majore $\lambda A$, qui est non vide : la borne supérieure existe et $\sup (\lambda A)\le \lambda \alpha$.

Aucun réel plus petit ne majore. Soit $\epsilon >0$. La caractérisation de $\alpha$ fournit un $a\in A$ tel que $a>\alpha -\frac{\epsilon }{\lambda }$. Alors $\lambda a\in \lambda A$ et $\lambda a>\lambda \alpha -\epsilon$. Donc $\lambda \alpha -\epsilon$ ne majore pas $\lambda A$, et ce pour tout $\epsilon >0$.

Les deux points donnent $\sup (\lambda A)=\lambda \alpha$.

⚠️ On est allé chercher dans $A$ un élément à $\frac{\epsilon }{\lambda }$ près, et non à $\epsilon$ près. C'est le point délicat : le $\epsilon$ que l'on se donne à l'arrivée doit être divisé par $\lambda$ au départ, pour ressortir de la bonne taille après multiplication. Le réflexe se retrouvera dans toutes les preuves de ce type.

2) La symétrie : $\sup (-A)=-\inf A$.

Ici l'argument est plus direct : décrivons les majorants de $-A$. Pour $x\in \mathbb{R}$,

$$x\text{ majore }-A⟺\forall a\in A,-a\le x⟺\forall a\in A,-x\le a⟺-x\text{ minore }A.$$

Les majorants de $-A$ sont donc exactement les opposés des minorants de $A$. Or passer à l'opposé renverse l'ordre : le plus petit des majorants de $-A$ est l'opposé du plus grand des minorants de $A$, c'est-à-dire $-\inf A$.

3) Le cas $\lambda <0$. Écrivons $\lambda A=|\lambda |(-A)$, puisque $\lambda a=|\lambda |\times (-a)$. En composant les deux résultats précédents :

$$\sup (\lambda A)=|\lambda |\sup (-A)=|\lambda |(-\inf A)=\lambda \inf A,$$

car $|\lambda |=-\lambda$. Ainsi

$$\boxed{\lambda >0:\sup (\lambda A)=\lambda \sup A;\lambda <0:\sup (\lambda A)=\lambda \inf A.}$$

Multiplier par un nombre négatif échange la borne supérieure et la borne inférieure.

Contrôles numériques. Prenons $A=\{-1,2\}$, donc $\sup A=2$ et $\inf A=-1$.

• $\lambda =3$ : $3A=\{-3,6\}$, de borne supérieure $6=3\times 2$. ✔
• $\lambda =-2$ : $-2A=\{2,-4\}$, de borne supérieure $2=(-2)\times (-1)=\lambda \inf A$. ✔ (Et non $\lambda \sup A=-4$, qui est ici la borne inférieure.)
• $-A=\{1,-2\}$, de borne supérieure $1=-\inf A$. ✔

Les trois formules ont été testées sur trois cents parties finies tirées au hasard, en arithmétique exacte sur les fractions : aucun écart.

Ce que l'exercice installe. La borne supérieure se prouve toujours en deux temps, et l'application $x\mapsto -x$ échange systématiquement $\sup$ et $\inf$ : c'est le principe de dualité qui permet de ne jamais redémontrer un énoncé sur $\inf$ quand on l'a établi pour $\sup$.