Étude complète d'une suite récurrente

Posons $f(x)=\frac{1}{2}\left(x+\frac{2}{x}\right)$ sur $]0,+\infty [$ : la suite est bien définie et strictement positive.

Minoration par $\sqrt{2}$ dès le rang 1 : pour $x>0$,

$$f(x)-\sqrt{2}=\frac{x^2-2\sqrt{2}x+2}{2x}=\frac{{\left(x-\sqrt{2}\right)}^2}{2x}\ge 0,$$

donc $u_n\ge \sqrt{2}$ pour tout $n\ge 1$.

Décroissance à partir du rang 1 : pour $x\ge \sqrt{2}$, $f(x)-x=\frac{2-x^2}{2x}\le 0$, donc $u_{n+1}\le u_n$ dès $n\ge 1$.

Convergence : décroissante et minorée, $(u_n{)}_{n\ge 1}$ converge vers $\ell \ge \sqrt{2}>0$ ; comme $f$ est continue en $\ell$, $\ell =f(\ell )$, soit ${\ell }^2=2$ : $\ell =\sqrt{2}$.

Vitesse : le calcul ci-dessus donne exactement $u_{n+1}-\sqrt{2}=\frac{(u_n-\sqrt{2}{)}^2}{2u_n}\le \frac{(u_n-\sqrt{2}{)}^2}{2\sqrt{2}}$ : l'erreur au rang $n+1$ est de l'ordre du carré de l'erreur au rang $n$. Le nombre de décimales exactes double (environ) à chaque itération : convergence quadratique. Avec $u_0=1$ : $u_1=1,5$, $u_2\approx 1,4167$, $u_3\approx 1,414216$ — cinq décimales exactes en trois itérations ($\sqrt{2}\approx 1,414214$ : les deux diffèrent dès la sixième).