L'irrationalité de e

Application directe du cours · niveau 3 (difficile) · mathématiques (PTSI), chapitre 5 — Nombres réels et suites numériques · G. Problèmes et approfondissements

Énoncé

Irrationalité de $e$ . On pose $a_{q} = k = 0 \sum q \frac{1}{k !}$ et $b_{q} = a_{q} + \frac{1}{q q !}$ ; l'exercice de ce TD consacré aux suites adjacentes établit que ces deux suites sont adjacentes, de limite commune $e$ , avec l'encadrement strict $a_{q} < e < b_{q}$ pour tout $q \geq 1$ .

Supposons $e = \frac{p}{q}$ avec $p$ et $q$ entiers, $q \geq 1$ , et considérons $N = q! (e - a_{q})$ . Montrer que $N$ est un entier, puis que $0 < N < \frac{1}{q} \leq 1$ . Conclure.

Corrigé

Stratégie : par l'absurde, en fabriquant un entier strictement compris entre $0$ et $1$ .

Supposons donc $e = \frac{p}{q}$ avec $p \in Z$ et $q \in N^{*}$ , et posons $N = q! (e - a_{q})$ .

1) $N$ est strictement positif. L'encadrement donne $a_{q} < e$ , donc $e - a_{q} > 0$ , et $q! > 0$ .

2) $N$ est strictement plus petit que $\frac{1}{q}$ . L'encadrement donne aussi $e < b_{q} = a_{q} + \frac{1}{q q !}$ , c'est-à-dire $e - a_{q} < \frac{1}{q q !}$ . En multipliant par $q!$ :

$N < q! \times \frac{1}{q q !} = \frac{1}{q} \leq 1,$

la dernière inégalité venant de $q \geq 1$ .

3) $N$ est un entier. On l'écrit comme une différence, $N = q! e - q! a_{q}$ , et l'on montre que chacun des deux morceaux est entier.

$q! e = q! \times \frac{p}{q} = p \times (q - 1)!$ , produit de deux entiers.
$q! a_{q} = k = 0 \sum q \frac{q !}{k !}$ , et pour chaque $k$ compris entre $0$ et $q$ , le quotient $\frac{q !}{k !} = (k + 1) (k + 2) \dots q$ est un produit d'entiers, donc un entier.

Donc $N$ est une différence d'entiers : c'est un entier.

4) La contradiction. $N$ est un entier vérifiant $0 < N < 1$ . Il n'existe aucun entier strictement compris entre $0$ et $1$ . L'hypothèse « $e$ est rationnel » est donc absurde :

$e \in / Q .$

⚠️ Deux points délicats, et tous deux tiennent au choix de l'indice $q$ . D'abord, on tronque la somme exactement au rang $q$ , celui du dénominateur supposé de $e$ — c'est ce qui rend $q! e$ entier. Ensuite, $\frac{q !}{k !}$ n'est un entier que parce que $k \leq q$ ; un seul terme au-delà et le raisonnement s'effondre. Le même $q$ sert donc deux fois, à deux titres différents.

⚠️ Les deux inégalités doivent être strictes. Si l'on n'avait que $0 \leq N \leq 1$ , il resterait deux entiers possibles, $0$ et $1$ , et il n'y aurait pas de contradiction. C'est la stricte monotonie des deux suites adjacentes qui donne $a_{q} < e < b_{q}$ au sens strict, et c'est elle qui ferme la porte.

Contrôles numériques. La quantité $q! (e - a_{q})$ , calculée pour les premières valeurs :

$q$	$q! (e - a_{q})$	borne $\frac{1}{q}$
2	0,4366	0,5000
5	0,1938	0,2000
10	0,0991	0,1000

À chaque ligne, la valeur est bien strictement positive et strictement inférieure à la borne — elle s'en approche d'ailleurs de plus en plus, ce qui montre que la majoration est fine. Et le calcul en arithmétique exacte confirme que $q! a_{q}$ est entier pour tout $q$ jusqu'à $11$ . ✔

Ce que l'exercice installe. Le schéma est celui de toutes les preuves d'irrationalité : on suppose une écriture $\frac{p}{q}$ , on fabrique à partir de $q$ un entier coincé strictement entre $0$ et $1$ , et l'on conclut. C'est le même mécanisme que pour $2$ au chapitre 1 — une descente impossible dans les entiers — et il resservira pour $e^{2}$ comme pour $π$ .

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.