La formule de Binet

Stratégie : la méthode générale des récurrences linéaires d'ordre $2$ — équation caractéristique, forme générale, conditions initiales.

1) L'équation caractéristique. La récurrence $F_{n+2}=F_{n+1}+F_n$ conduit à $r^2=r+1$, soit $r^2-r-1=0$, de discriminant $1+4=5>0$. Deux racines réelles distinctes :

$$\phi =\frac{1+\sqrt{5}}{2}\approx 1,618\text{(le nombre d’or)},{\phi }^{\prime }=\frac{1-\sqrt{5}}{2}\approx -0,618.$$

Les racines étant distinctes, les solutions sont exactement les $F_n=\lambda {\phi }^n+\mu {\phi }^{\prime n}$.

2) Les conditions initiales.

• $F_0=0$ donne $\lambda +\mu =0$, donc $\mu =-\lambda$ ;
• $F_1=1$ donne $\lambda \phi +\mu {\phi }^{\prime }=\lambda (\phi -{\phi }^{\prime })=1$.

Or $\phi -{\phi }^{\prime }=\frac{(1+\sqrt{5})-(1-\sqrt{5})}{2}=\sqrt{5}$, d'où $\lambda =\frac{1}{\sqrt{5}}$ et $\mu =-\frac{1}{\sqrt{5}}$ :

$$\boxed{F_n=\frac{{\phi }^n-{\phi }^{\prime n}}{\sqrt{5}}.}$$

3) Le rapport de deux termes consécutifs. Une récurrence immédiate montre que $F_n\ge 1$ pour $n\ge 1$ : on peut donc diviser. Factorisons ${\phi }^n$ au numérateur et au dénominateur — c'est licite, $\phi >0$ :

$$\frac{F_{n+1}}{F_n}=\frac{{\phi }^{n+1}-{\phi }^{\prime n+1}}{{\phi }^n-{\phi }^{\prime n}}=\phi \cdot \frac{1-{\left(\frac{{\phi }^{\prime }}{\phi }\right)}^{n+1}}{1-{\left(\frac{{\phi }^{\prime }}{\phi }\right)}^n}.$$

Le rapport $\frac{{\phi }^{\prime }}{\phi }$ a pour valeur absolue $\frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{5}+1}\approx 0,382<1$, donc ses puissances tendent vers $0$. Numérateur et dénominateur de la fraction tendent tous deux vers $1$, et

$$\frac{F_{n+1}}{F_n}⟶\phi .$$

⚠️ On divise par $1-{\left(\frac{{\phi }^{\prime }}{\phi }\right)}^n$. C'est licite parce que cette quantité tend vers $1$, donc est non nulle à partir d'un certain rang. Diviser par une quantité qui tendrait vers $0$ serait interdit : c'est le seul point à surveiller dans ce calcul.

⚠️ Le signe de ${\phi }^{\prime }$ compte. Comme ${\phi }^{\prime }\approx -0,618$ est négatif, la quantité ${\phi }^{\prime n}$ change de signe à chaque pas : $F_n$ oscille légèrement autour de $\frac{{\phi }^n}{\sqrt{5}}$. Comme de plus $\frac{{|{\phi }^{\prime }|}^n}{\sqrt{5}}<\frac{1}{2}$ dès $n\ge 1$, on obtient un fait remarquable : $F_n$ est l'entier le plus proche de $\frac{{\phi }^n}{\sqrt{5}}$.

Contrôles numériques. $F_{10}=55$ et $\frac{{\phi }^{10}}{\sqrt{5}}=55,0036$ : l'entier le plus proche est bien $55$. ✔ La formule de Binet a été vérifiée pour tous les $n$ jusqu'à $40$. Enfin $\frac{F_{41}}{F_{40}}=1,618033988750$ et $\phi =1,618033988750$ : douze décimales exactes. ✔

Ce que l'exercice installe. Une suite d'entiers peut avoir une formule close truffée d'irrationnels : les $\sqrt{5}$ se compensent exactement à chaque rang. Et le rapport de deux termes consécutifs tend vers la racine dominante de l'équation caractéristique — un phénomène général, dont ce cas est le plus célèbre exemple.