Le théorème de Cesàro

La stratégie. La définition de la limite dit que les termes $u_k$ finissent par être proches de $\ell$ ; elle ne dit rien des premiers. On coupe donc la somme en deux paquets : un bloc fini de $N$ termes — peut-être très grands, mais en nombre fixé, donc écrasés par la division par $n$ — et une queue de termes tous proches de $\ell$.

a) Le théorème de Cesàro. Soient $\epsilon >0$ et $N$ comme dans l'énoncé ; un tel $N$ existe, par définition de la limite appliquée avec $\frac{\epsilon }{2}$. Posons $$A=\sum _{k=1}^N|u_k-\ell |.$$ C'est une somme d'un nombre fixé de termes : $A$ est une constante, qui ne dépend pas de $n$.

On coupe. Soit $n>N$. Comme $\frac{1}{n}{\sum }_{k=1}^n\ell =\ell$, on peut écrire $$c_n-\ell =\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n(u_k-\ell ).$$ L'inégalité triangulaire, en séparant les $N$ premiers termes des suivants, donne $$|c_n-\ell |\le \frac{1}{n}\sum _{k=1}^N|u_k-\ell |+\frac{1}{n}\sum _{k=N+1}^n|u_k-\ell |.$$ Chacun des $n-N$ termes de la seconde somme est au plus $\frac{\epsilon }{2}$ ; cette seconde somme, divisée par $n$, est donc au plus $\frac{n-N}{n}\cdot \frac{\epsilon }{2}\le \frac{\epsilon }{2}$. C'est l'inégalité demandée : $$|c_n-\ell |\le \frac{A}{n}+\frac{\epsilon }{2}.$$

On fait tendre $n$ vers l'infini. Comme $A$ est fixe, $\frac{A}{n}\le \frac{\epsilon }{2}$ dès que $n\ge \frac{2A}{\epsilon }$. Soit donc $N^{\prime }$ un entier supérieur à $N+1$ et à $\frac{2A}{\epsilon }$. Pour tout $n\ge N^{\prime }$, $$|c_n-\ell |\le \frac{\epsilon }{2}+\frac{\epsilon }{2}=\epsilon .$$ Ceci vaut pour tout $\epsilon >0$ : $c_n\to \ell$.

Le point délicat. L'ordre des choix. Le rang $N$ est fixé avant que $n$ ne parte à l'infini ; c'est pour cela que $A$ est une constante et que $\frac{A}{n}$ tend vers $0$. Le bloc fini contient toujours les mêmes $N$ termes, peut-être énormes, mais divisés par un $n$ qui grandit ; la queue contient de plus en plus de termes, mais tous petits. L'erreur à éviter : laisser $N$ dépendre de $n$, ce qui interdirait de dire que $A$ est une constante.

b) La réciproque est fausse. Prenons $u_n=(-1{)}^n$. Cette suite diverge : ses termes de rang pair valent $1$ et ses termes de rang impair valent $-1$, deux suites extraites de limites différentes. Pourtant les termes se compensent deux à deux : $u_1+u_2=0$, $u_3+u_4=0$, et ainsi de suite. D'où $$c_n=0\text{ si }n\text{ est pair},c_n=-\frac{1}{n}\text{ si }n\text{ est impair},$$ et dans les deux cas $|c_n|\le \frac{1}{n}$, donc $c_n\to 0$. La moyenne converge alors que la suite oscille : prendre la moyenne régularise. C'est ce que fait un physicien qui mesure la valeur moyenne d'un signal alternatif — nulle, alors que le signal lui-même n'a pas de limite.

c) Le lemme de l'escalier. Posons, pour $k\ge 1$, $u_k=v_k-v_{k-1}$. Cette suite converge vers $\ell$ : c'est la suite $(v_{n+1}-v_n)$ décalée d'un rang. Et sa somme se télescope : $$u_1+u_2+\cdots +u_n=(v_1-v_0)+(v_2-v_1)+\cdots +(v_n-v_{n-1})=v_n-v_0.$$ Donc $c_n=\frac{v_n-v_0}{n}$, et le a) donne $\frac{v_n-v_0}{n}\to \ell$. Comme $v_0$ est une constante, $\frac{v_0}{n}\to 0$, et par somme de limites $$\frac{v_n}{n}=\frac{v_n-v_0}{n}+\frac{v_0}{n}⟶\ell .$$ Si les marches d'un escalier ont une hauteur qui tend vers $\ell$, la pente moyenne de l'escalier tend vers $\ell$.

Contrôle. Avec $v_n=H_n={\sum }_{k=1}^n\frac{1}{k}$, les marches $v_{n+1}-v_n=\frac{1}{n+1}$ tendent vers $0$ : le lemme donne $\frac{H_n}{n}\to 0$ — la somme des inverses des entiers tend vers l'infini, mais beaucoup moins vite que $n$.

Ce que l'exercice installe. La définition de la limite en acte : couper une somme en un rang fixé, un bloc fini que l'on écrase et une queue que l'on contrôle — l'outil universel des sommes dont on ne maîtrise que les termes lointains. Le lemme de l'escalier transforme une information sur les accroissements d'une suite en une information sur sa croissance : il servira dès l'exercice 9 ; le TD 6 en donnera la version continue — une vitesse qui tend vers une limite impose la vitesse moyenne — ; et la séance d'analyse asymptotique s'en servira pour mesurer la lenteur des sinus itérés.