Quand une suite géométrique complexe converge

Stratégie : disjonction selon le module, avec un argument de divergence différent dans chacun des deux cas rebelles.

Rappelons que pour une suite complexe, la définition de la limite s'écrit avec le module à la place de la valeur absolue.

1) Si $|q|<1$ : convergence vers $0$. On a $\left|q^n-0\right|=|q{|}^n$, suite géométrique réelle de raison $|q|\in [0,1[$, qui tend vers $0$. Donc $q^n\to 0$.

2) Si $q=1$ : convergence vers $1$. La suite est constante égale à $1$.

3) Si $|q|>1$ : divergence, par non-bornitude. On a $|q^n|=|q{|}^n\to +\infty$. Si $(q^n)$ convergeait, elle serait bornée — toute suite convergente est bornée —, donc $\left(|q^n|\right)$ le serait aussi. Contradiction.

4) Si $|q|=1$ et $q\ne 1$ : divergence, par l'écart entre deux termes consécutifs. Raisonnons par l'absurde et supposons $q^n\to \ell$. La suite $\left(q^{n+1}\right)$ est extraite de $(q^n)$ — l'extractrice $n\mapsto n+1$ est strictement croissante —, donc elle tend elle aussi vers $\ell$, et par différence

$$q^{n+1}-q^n⟶\ell -\ell =0.$$

Or, en factorisant,

$$\left|q^{n+1}-q^n\right|=\left|q^n\right|\times |q-1|=1\times |q-1|=|q-1|,$$

une quantité constante et strictement positive puisque $q\ne 1$. Une suite constamment égale à $|q-1|>0$ ne peut tendre vers $0$ : contradiction.

⚠️ Tout se joue sur le fait que $\left|q^{n+1}-q^n\right|$ ne dépend pas de $n$. C'est là — et seulement là — que sert l'hypothèse $|q|=1$ : elle rend $|q^n|=1$. Pour $|q|<1$, cette même différence tendrait vers $0$ et ne contredirait rien.

Contrôles numériques.

• $q=\frac{1+i}{2}$, de module $0,707$ : $\left|q^{50}\right|\approx 3\times 10^{-8}$, la suite s'effondre vers $0$. ✔
• $q=i$ : la suite prend les quatre valeurs $i,-1,-i,1$ indéfiniment ; $\left|q^{50}\right|=1$, aucune limite. ✔ Et $\left|q^{n+1}-q^n\right|=|i-1|=\sqrt{2}$, constant. ✔
• $q=-1$ : $\left|q^{n+1}-q^n\right|=|-1-1|=2$, constant. ✔
• $q=e^i$ (un radian) : de module $1$, la suite parcourt le cercle sans jamais repasser au même point — divergence, alors même que tous les termes restent à distance $1$ de l'origine. ✔
• $q=1,0001$ : $\left|q^{50}\right|=1,005$ seulement, mais $|q{|}^n\to +\infty$ — la divergence est là, simplement lente. ✔

Ce que l'exercice installe. La suite géométrique complexe se comporte comme la réelle, module en lieu et place de valeur absolue — sauf sur le cercle unité, où seul $q=1$ survit. C'est là que naissent les suites qui tournent sans converger, et l'on retrouvera exactement ce phénomène avec les récurrences linéaires dont les racines caractéristiques sont de module $1$.